函数的单调性(精品讲义)

.专业资料分享..WORD完美格式.都江堰校区（数学）辅导讲义任课教师:岳老师Tel:18180622169课题函数的单调性基础盘查一函数的单调性1．判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)()(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)()2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________．基础盘查二函数的最值4．判断正误(1)所有的单调函数都有最值()(2)函数y＝1x在[1,3]上的最小值为13()5．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．【答案】1．(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×；2．[2,4]；3．－∞，－12；4．(1)×(2)√；5．2考点一函数单调性的判断[必备知识1]：单调性的定义设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)f(x2)．设x1，x2∈[a，b]，如果fx1－fx2x1－x20，则f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果fx1－fx2x1－x20，则f(x)在[a，b]上是单调递减函数．[必备知识2]：确定单调性的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．.专业资料分享..WORD完美格式.(2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．[典题例析]【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|【解析】选C当x0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈0，32时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈32，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x＋1为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.【例2】判断函数g(x)＝－2xx－1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，则g(x1)－g(x2)＝－2x1x1－1－－2x2x2－1＝2x1－x2x1－1x2－1，因为1x1x2，所以x1－x20，(x1－1)(x2－1)0，因此g(x1)－g(x2)0，即g(x1)g(x2)．故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．考点二求函数的单调区间[必备知识2]：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致[典题例析]【例3】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3|x|；(2)f(x)＝|x2＋2x－3|；(3)y＝－x2＋2|x|＋1.【解】(1)∵f(x)＝3|x|＝3x，x≥0，－3x，x0.图象如图所示．f(x)在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．.专业资料分享..WORD完美格式.(3)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x＜0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．【例4】求函数y＝x2＋x－6的单调区间．【解】令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．考点三函数单调性的应用[必备知识3]复合函数单调性的判断利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．【多角探明】函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值【例5】函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x＜1的最大值为________．【解析】当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.角度二：比较函数值或自变量的大小【例6】设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则()A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a)C．f(a2＋a)f(a)D．f(a2＋1)f(a)【解析】选D由a2＋1－a＝a－122＋34，得a2＋1a，又∵f(x)是R上的减函数，∴f(a2＋1)f(a)．.专业资料分享..WORD完美格式.【例7】(2014·广州模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜b＜c【解析】选B∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f－12＝f52，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)＜f52＜f(3)，即b＜a＜c.角度三：解函数不等式【例8】f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8,9]C．[8,9]D．(0,8)【解析】选B2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x＞0，x－8＞0，xx－8≤9，解得8＜x≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值【例9】已知函数f(x)＝a－2x，x≥2，12x－1，x2满足对任意的实数x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B．－∞，138C．(－∞，2]D．138，2【解析】选B由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有a－20，a－2×2≤122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138.[类题通法]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值..专业资料分享..WORD完美格式.一、选择题1．下列说法中正确的有()①若x1，x2∈I，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】选A函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；③y＝－1x在整个定义域内不是单调递增函数，如－35而f(－3)f(5)；④y＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)【解析】选A由于f(x)＝|x－2|x＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则()A．f13f32f23B．f23f32f13C．f23f13f32D．f32f23f13【解析】选B由题设知，当x1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴f32＝f1＋12＝f1－12＝f12，又1312231，∴f13＞f12f23，即f13f32f23.4．创新题定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12【解析】选C由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的()A．最小值是0，最大值是4B．最小值是－4，最大值是0C．最小值是－4，最大值是4D．没有最大值也没有最小值.专业资料分享..WORD完美格式.【解析】选Cy＝|x－3|－|x＋1|＝－4x≥3－2x＋2－1≤x34x－1作出图象可求．6．(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x20且x1x20，则f(x1)＋f(x2)的值()A．可能为0B．恒大于0C．恒小于0D．可正可负【解析】选C由x1x20不妨设x10，x20.∵x1＋x20，∴x1－x20.由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)0.故选C.二、填空题7．已知函数f(x)为R上的减函数，若f1xf(1)，则实数x的取值范围是________．【解析】由题意知f(x)为R上的减函数且f1xf(1)；则1x1，即|x|1，且x≠0.故－1x1且x≠0.8．已知函数f(x)＝x2