线性代数-矩阵的秩

矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．显然，m×n矩阵A的k阶子式共有个．kkmnCC概念辨析：k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素a12相对应的余子式2123123133aaMaa相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子块12132223aaaa矩阵A的一个2阶子式12132223aaaa21231212123133(1)aaAMaa111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩阵A的一个3阶子式111213212223313233aaaaaaaaa矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．因此矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A中有某个s阶子式不等于零，则R(A)≥s；若矩阵A中所有t阶子式等于零，则R(A)t．若A为n阶矩阵，则A的n阶子式只有一个，即|A|．当|A|≠0时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．当|A|=0时，R(A)n;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．矩阵A的一个2阶子式TD矩阵AT的一个2阶子式111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa12132223aaaaDAT的子式与A的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa12221323aaaa例：求矩阵A和B的秩，其中123235471A21032031250004300000B解：在A中，2阶子式．12023A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．例：求矩阵A和B的秩，其中123235471A解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式213032240004，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？21032031250004300000B例：求矩阵A和B的秩，其中123235471A解（续）：B还有其它3阶非零子式，例如2030128004212035180032020156003结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．21032031250004300000B二、矩阵的秩的计算例：求矩阵A的秩，其中．32050323612015316414A分析：在A中，2阶子式．2012016A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．334540CC一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：若A~B，则R(A)=R(B)．证明思路：1.证明A经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．2.B也可经由一次初等行变换变为A，则R(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．3.经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变．4.设A经过初等列变换变为B，则AT经过初等行变换变为BT，从而R(AT)=R(BT)．又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)．第1步：A经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．证明：设R(A)=r，且A的某个r阶子式D≠0．当或时，在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1．由于D1=D或D1=－D或D1=kD，因此D1≠0，从而R(B)≥r．当时，只需考虑这一特殊情形．~ijrrAB~irkAB~ijrkrAB12~rkrAB1irr2,jrr12,rkrijrkr1,irr2,jrr12ppqqrrrrkrr第1步：A经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．证明（续）：分两种情形讨论：(1)D中不包含r1中的元素这时D也是B的r阶非零子式，故R(B)≥r．(2)D中包含r1中的元素这时B中与D相对应的r阶子式D1为121pqrkrrDr2DkD121212pppqqqrkrrrrrrDkDkDrrr若p=2，则D2=0，D=D1≠0，从而R(B)≥r；若p≠2，则D1－kD2=D≠0，因为这个等式对任意非零常数k都成立，所以D1、D2不同时等于零，于是B中存在r阶非零子式D1或D2，从而R(B)≥r，即R(A)≤R(B)．定理：若A~B，则R(A)=R(B)．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例：求矩阵的秩，并求A的一个最高阶非零子式．32050323612015316414A解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列0161041004000B0325326~205161rA，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．32050164143236104311~20153000481641400000rA00325161326041~205004161000rABR(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式3253256113266011216025205205因此这就是A的一个最高阶非零子式．分析：对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及R(B)．例：设，求矩阵A及矩阵B=(A,b)的秩．1221124802,2423336064Ab(,)BAbA解：12211122112480200210~24233000013606400000rBR(A)=2R(B)=3矩阵的秩的性质①若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．②R(AT)=R(A)．③若A~B，则R(A)=R(B)．④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(B)．⑤max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)．特别地，当B=b为非零列向量时，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1．⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．⑦R(AB)≤min{R(A),R(B)}．⑧若Am×nBn×l=O，则R(A)＋R(B)≤n．例：设A为n阶矩阵，证明R(A＋E)＋R(A－E)≥n．证明：因为(A＋E)＋(E－A)=2E，由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)=n．又因为R(E－A)=R(A－E)，所以R(A＋E)＋R(A－E)≥n．例：若Am×nBn×l=C，且R(A)=n，则R(B)=R(C)．解：因为R(A)=n，所以A的行最简形矩阵为，设m阶可逆矩阵P，满足．于是因为R(C)=R(PC)，而，故R(B)=R(C)．nmnEOnmnEPAOnEPCPABBOBO()BRBRO例：若Am×nBn×l=C，且R(A)=n，则R(B)=R(C)．附注：当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵．特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵．因此，本例的结论当A为为方阵时，就是性质④．本题中，当C=O，这时结论为：设AB=O，若A为列满秩矩阵，则B=O．