矩阵的实际应用

线性代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵是线性代数最基本的概念，矩阵的运算是线性代数的基本内容。矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。如果你了解原始数表的含义，而且你可以从中抽象出某种变化规律，你就可以用线性代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。这些结论就可以直观的、简洁的数表形式展现在你眼前。在日常生活中，矩阵无时无刻不出现在我们的身边，例如生产管理中的生产成本问题、人口的流动和迁徙、密码学、图论、生态统计学、以及在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到的配方问题、超市物品配送路径等都和矩阵息息相关。矩阵的实际应用某工厂生产三种产品.每种产品的原料费、工资支付每季度生产每种产品的数量见表2.、管理费等见表1.应用1生产成本(1)每一季度中每一类成本的数量；(2)每一季度三类成本的总数量；(3)四个季度每类成本的总数量.该公司希望在股东会议上用一个表格直观地展示出以下数据：解我们用矩阵的方法考虑这个问题.这两张表格中的数据均可表示为一个矩阵.15.020.010.025.040.030.015.030.010.0M400045004500400020002600240022005800620060006000PMP的第一列表示夏季生产三种产品的总成本MP的第二列表示秋季生产三种产品的总成本MP的第三列表示冬季生产三种产品的总成本MP的第四列表示春季生产三种产品的总成本MP计算得：15.020.010.025.040.030.015.030.010.0M400045004500400020002600240022005800620060006000P187021602070196034503940381035801670190018301740MPMP的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本MP的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本MP的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到187021602070196034503940381035801670190018301740MP表3汇总了总成本应用2人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？人口迁徙模型这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。一年以后，市区人口为xc1(10.06)xc00.02xs0，郊区人口xs10.06xc0(10.02)xs0用矩阵乘法来描述，可写成：11010.940.020.30.29600.060.980.70.7040csxxAxx人口迁徙模型从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式的递推式为输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],x0[0.3;0.7]x1A*x0,x10A^10*x0,x30A^30*x0,x50A^50*x0得到：2120kkkkxAxAxAx11030500.29600.27170.25410.2508,,,,0.70400.72830.74590.7492xxxx应用3应用矩阵编制Hill密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用。现在密码学涉及很多高深的数学知识，这里只做简单介绍。密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程称为加密，反之为解密。信源加密信道解密信宿1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。【准备】若要发出信息action，现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文，并给出相应的解密方法。ABCXYZ123242526（2）假设将单词中从左到右，每3个字母分为一组，并将对应的3个整数排成3维的行向量，加密后仍为3维的行向量，其分量仍为整数。【假设】（1）假定26个英文字母与数字之间有以下的一一对应关系：【加密、解密】bb12193,152014B193152014若要发出信息action，使用上述代码，则此信息的编码是：1，3，20，9，15，14．可以写成两个向量:或者写成一个矩阵第一步“加密”A123112012现任选一个三阶的可逆矩阵，例如A于是将要发出的信息（或矩阵）经乘以变成“密码”后发出AbAb12123167123981112344,112155201220430121443或者ABC123196781112315445201220144343A1011221111第二步“解密”678144524343在收到信息：后，可予以解密（当然这里AA可逆矩阵是事先约定的，这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙”）．即用从密码中恢复明码：AA116701167181944221443,52154311143204314或者AC1011678119221445231511143432014ABCXYZ123242526反过来查表：即可得到信息action．A123221343A我们选择不同的可逆矩阵（密钥），则可得到不同的密文。如：选择可逆矩阵B193152014action的编码矩阵是1231967812213152862343201475129AB=C则A113235322111因为AC1132678119353286231522751292014111所以反过来查表：ABCXYZ123242526即可得到信息action．12115314,20090bbB11531420090。在【假设】中，也可将单词中从左到右，每4个字母分位一组，并将对应的4个整数排成4维的列向量，加密后仍为4维的列向量，其分量仍为整数，最后不足4个字母时用空格上。信息action，使用上述代码，则此信息的编码是：1，3，20，9，15，14．可以写成两个向量即action的编码矩阵可以写成AB12341151034301233147014001220038000019090A1234012300120001设可逆矩阵于是A11210012100120001A而的逆矩阵为ABCXYZ123242526AC112101034311501217014314001238020000019090所以反过来查表：即可得到信息action．应用4网络和图图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示：经过一次转机(也就是坐两次航班)能到达的城市,可以由邻接矩阵的平方A2A1^2来求得。00111000101001010A001100111110100010000011211010001001000101010100111AAA应用5生态学—海龟的种群统计学管理和保护许多野生物种依赖于我们模型化动态种群的能力.一个经典的模型化方法是将物种的生命周期划分为几个阶段.该模型假设每一阶段种群的大小仅依赖于雌性的数量，并且每一个雌性个体从一年到下一年存活的概率仅依赖于它在生命周期中的阶段，而不依赖于个体的实际年龄.例如，我们考虑一个4个阶段的模型来分析海龟的动态种群.在每一阶段，我们估计出1年中存活的概率，并用每年期望的产卵量近似给出繁殖能力的估计.这些结果在表4中给出.在每一阶段名称后的圆括号中给出该阶段近似的年龄.若di表示第i个阶段持续的时间，si为该阶段每年的存活率，那么在第i阶段中，下一年仍然存活的比例将为ididiissspii111而下一年转移到第i+1个阶段时，可以存活的比例应为(1)1iidiiidissqs若令ei表示阶段i（i=2，3，4）1年中平均的产卵量，并构造矩阵4332214321000000pqpqpqeeepL则L可以用于预测以后每阶段海龟的数量，成为莱斯利矩阵，相应的种群模型通常称为莱斯利种群模型.利用表4给出的数字，模型的莱斯利矩阵为00127790.670.73940000.000600000.810.8077L假设初始时种群在各个阶段的数量分别为200000、300000、500、1500.若将这个初始种群数量表示为x0，1年后各阶段的种群数量可如下计算：1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617xLx2年后各阶段的种群数量为：220xLxk年后各阶段的种群数量为：0kkxLx为观察长时间的趋势，我们计算502510,,xxx结果归纳在表5中.这个模型预测，繁殖期的海龟数量将在50年后减少约80%.课后作业1.某城市中，每年有28%的已婚女性离婚，22%的单身女性结婚.城镇中有7500位已婚女性和2500位单身女性.假设所有女性的总数为一常数，问5年后有多少已婚女性和单身女性？8年后呢？并计算大致多少年后此比例基本保持稳定？2.自己选择一个英文单词，按本节所学密码编译方法，经过假设，加密，解密的步骤进行编码和译码。（自己选定密钥，即可逆矩阵）要求：①英文单词至少要5个字母及以上；②密匙矩阵要求3阶及以上.