第六章习题

第六章习题解习习习题题题6.1用(X(t);Y(t))表示二维标准布朗运动，用定理2.1证明对任何常数,W(t)=X(t)cos+Y(t)sin;t≥0是标准的布朗运动。证证证明明明：因为(X(t);Y(t))为二维标准布朗运动，所以X(t)于Y(t)都是标准布朗运动，且服从正态分布N(0;t).由EX(t)=0与EY(t)=0,可得EW(t)=EX(t)cos+EY(t)sin=0.E(W(t)W(s))=E(X(t)cos+Y(t)sin)(X(s)cos+Y(s)sin)=(cos)2EX(t)X(s)+(sin)2)E(Y(t)Y(s)+sincos)(EX(t)Y(s)+EY(t)X(s))=((cos)2+(sin)2)s=s所以W(t)是标准的布朗运动。6.2设B(t)是标准布朗运动，a是正常数，证明一下的随机过程W(t)都是标准布朗运动。(1)W(t)=−B(t),t≥0;(2)W(t)=B(t+a)−B(a),t≥0;(3)W(t)=B(at)=√a,t≥0;(4)W(0)=0,W(t)=tB(1=t),t≥0;(5)对于正数T，W(t)=B(T−t)−B(T)是时间段[0;T]中的标准布朗运动。证证证明明明：因为B(t)是标准布朗运动，所以满足定理2.1的条件。我们只需要验证EW(t)=0;EW(t)W(s)=s;t≥s≥0成立即可。(1)EW(t)=E(−B(t))=−EB(t)=01第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动EW(t)W(s)=E(−B(t))(−B(s))=EB(t)B(s)=s所以W(t)是标准布朗运动。(2)EW(t)=E(B(t+a)−B(a))=EB(t+a)−EB(a)=0E(W(t)W(s))=E(B(t+a)−B(a))(B(s+a)−B(a))=E(B(t+a)B(s+a)−E(B(t+a)B(a))−E(B(a)B(s+a))+E(B(a)B(a))=s+a−a−a+a=s所以W(t)是标准布朗运动。(3)EW(t)=E(B(at)=√a)=EB(at)=√a=0E(W(t)W(s))=E(B(at)=√a)(B(as)=√a)=1aE(B(at)B(as)=1a×as=s所以W(t)是标准布朗运动。(4)EW(t)=E(tB(1=t))=tE(1=t)=0E(W(t)W(s))=E(tB(1=t))(sB(1=s))=tsE(B(1=t)B(1=s))=ts×1=t=s所以W(t)是标准布朗运动。(5)EW(t)=E(B(T−t)−B(T))=EB(T−t)−EB(T)=0E(W(t)W(s))=E(B(T−t)−B(T))(B(T−s)−B(T))=E(B(T−t)B(T−s)−E(B(T−t)B(T))−E(B(T)B(T−s)+B(T)B(T))=(T−t)−(T−t)−(T−s)+T=s所以W(t)是标准布朗运动。2第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动6.3定义标准布朗运动B(t)的镜面反射：Z(t)=|B(t)|，t≥0。计算EZ(t)，Var(Z(t))。解解解:(1)EZ(t)=E|B(t)|=∫11|x|√2tex22tdx=2∫10x√2tex22tdx=−2t∫101√2tex22tdex22t=2t√2t=√2t(2)EZ(t)2=E|B(t)|2=∫11|x|2√2tex22tdx=−2t∫10x√2tdex22t=2t∫101√2tex22tdx=tVar(Z(t))=EZ(t)2−(EZ(t))2=t−√2t2=t−2t6.4用标准布朗运动B(t)定义几何布朗运动Y(t)=exp(B(t))，t≥03第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动计算EY(t)，Var(Y(t))。解解解:(1)E(Y(t))=E(eB(t))=e12t12=e12t(2)E(Y(t))2=E(e2B(t))=e12t22=e2tVar(Y(t))=E(Y(t))2−(E(Y(t)))2=e2t−et6.5对标准布朗运动B(t)，在条件B(1)=0下,(a)计算B(t)，06t61的数学期望和协方差函数；(b)验证B(t)，06t61是正态过程；(c)验证B(t)，06t61是布朗桥。解：(a)B(t)是标准布朗运动，所以对于t0,B(t)−B(0)=B(t)vN(0;t).则EB(t)=0;VB(t)=t;cov(B(t);B(s))=s;∀tso:(b)(a)中已证明B(t)是正态过程，服从N(0;t)的正态过程。(c)由B(t)是标准布朗运动得B(0)=0，由题意知B(1)=0，所以B(t)是布朗桥。6.6对于布朗桥X(t)，06t61,验证W(t)=(t+1)X(t=(1+t));t0是标准布朗运动。解：X(t)为布朗桥，则存在一个标准布朗运动B(t)，使得X(t)=B(t)−tB(1).则W(t)=(t+1)X(t1+t)=(t+1)[B(t1+t))−t1+tB(1)]=(t+1)[B(1)−B(11+t)−t1+tB(1)]=(t+1)[11+tB(1)−B(11+t)]=B(1)−(1+t)B(11+t)4第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动显见，W(0)=0则，由eg2.1(4)知，当B(t)为标准布朗运动时，W1(t)=tB(1=t)也为标准布朗运动；再由eg2.1(2)，当W1(t)为标准布朗运动时，W2(t)=W1(t+1)−W1(1)=(1+t)B(1=(1+t))−B(1)也是标准布朗运动；再由eg2.1(1)，当W2(t)为标准布朗运动时，W3(t)=−W2(t)=B(1)−(1+t)B(1=(1+t))即W(t)也是标准布朗运动.6.7对标准布朗运动B(t)及其最大值Mt=sup0stB(s),计算条件概率P(Mt|Mt=B(t)).解：P(Mt|Mt=B(t))=P(Mt;Mt=B(t))P(Mt=B(t))余下的我不会解，不好意思。6.8标准布朗运动{B(t)},定义有漂移系数的布朗运动如下:W(t)=B(t)+t;t≥0:对于x0,证明当t→0时，P(sup0st|W(s)|x)=o(t).解:P(sup0st|W(s)|x)=P(Tx≤t)即证P(Tx≤t)=o(t)5第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动由《应用随机过程》（清华大学出版社）Page95的定理5:6:1,设B(t);t≥0为布朗运动，令X(t)=B(t)+tTa=min{t:t≥0;X(t)=a};X(0)=x;x̸=a则当h0充分小时，有P(Ta≤h|X(0)=x)=o(h)因为P(Ta≤h|X(0)=x)=P(Tax≤h|X(0)=0),P0(Tax≤h)P0(Tax≤h)=P0(max0st[B(s)+s]≥a−x)≤P0{max0shB(s)≥a−x−||h}=P0(Taxjjh≤h)≤2P0{|B(h)|≥a−x−||h}=2√2h∫jyjaxjjhexp(−y2=2h)dy≤2√2h∫1+1y4(a−x−||h)4exp(−y2=2h)dy=2(a−x−||h)43h2所以P(Ta≤h|X(0)=x)≤6h2(a−x−||h)43h2=o(h)故有P(Tx≤t)=o(t)6.9设X有连续的分布函数F(x),X1;X2;···;Xn是来自总体X的随机变量.定义Yi=F(Xi).(a)计算Yi的分布函数G(y);(b)写出基于随机变量Y1;Y2;···;Yn经验函数G(y)6第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动(c)计算经验过程{Dn(t)}={√n(GN(t)−G(t))}的协方差函数.解解解(a)已知:X的分布函数F(x)连续单调不减,我们不妨假设F(x)的反函数F1(x)存在.则当y∈[0;1]有:P(Yi≤y)=P(F(Xi)≤y)=P(Xi≤F1(y))=F(F1(y)))=y当y∈(−∞;0)时有:P(Yi≤y)=P(F(Xi)≤y)=0当y∈(1;+∞)时有:P(Yi≤y)=P(F(Xi)≤y)=1∴Yi∼U(0;1);G(y)=0;y∈(−∞;0)y;y∈[0;1]1;y∈(1;+∞).(b)经验函数为Gn(y)=1nn∑i=1I[Yi≤y];y∈[0;1](c)当0≤st≤1时,有EDn(t)=√nE(Gn(t)−t)=0所以:COV(Dn(t);Dn(s))=EDn(t)Dn(s)=1nn∑k=1E[(I[Yk≤s]−s)(I[Yk≤t]−t)]=1nn∑k=1s(1−t)=s(1−t)6.10对标准布朗运动B(t),定义OU(Ornstein-Uhlenbeck)过程U(t)=etB(e2t)(a)计算OU过程U(t)的数学期望和协方差函数;(b)验证OU过程U(t)是严平稳过程;(c)在条件U(t)=u下,求U(t+s)的分布.解解解(a)对标准布朗运动{B(t)}有:B(t)sN(0;t),∴EU(t)=EetB(e2t)=etEB(e2t)=0Var(U(t))=e2tVar(B(e2t))=17第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动第第第六六六章章章布布布朗朗朗运运运动动动当s≤t时,COV(U(t);U(s))=E(U(t)U(s))=e(t+s)EB(e2t)B(e2s)=e(t+s)[E(B(e2t)−B(e2s))B(e2s))+EB2(e2s)]=e(t+s)[E(B(e2t)−B(e2s))EB(e2s)+e2s]=e(st)(c)P(U(t+s)≤a|U(s)=u)=P(e(t+s)B(e2(t+s))≤a|esB(e2s)=u)=P(B(e2(t+s))≤et+s:a|B(e2s)=esu)=P(B(e2(t+s))−B(e2s)≤et+s:a−esu|B(e2s)=esu)=P(B(e2(t+s))−B(e2s)≤et+s:a−esu)(∗)∵B(e2(t+s))−B(e2s)sN(0;e2(t+s)−e2s)∴(∗)=(et+s:a−esu√e2(t+s)−e2s)=(a−etu√1−e2t);即:P(U(t+s)≤a|U(s)=u)=(a−etu√1−e2t)∴在U(s)=u下,U(t+s)服从N(etu;1−e2t)分布.(b)由(a)知:U(t)∼N(0;1),设P(U(t)=i0)=i0∴当s0;0≤t0t1···tn,由乘法公式和{B(t)}增量独立性知:P(U(t0+s)=i0;U(t1+s)=i1;···;U(tn+s)=in)=P(U(t0+s)=i0)P(U(t1+s)=i1|U(t0+s)=i0)···P(U(tn+s)=in|U(tn1+s)=in1):::::::::(∗∗)又由(c)的结论有:在U(s)=u下,U(t+s)的分布仅与时间差t有关.所以(∗∗)=P(U(t0)=i0)P(U(t1)=i1|U(t0)=i0)···P(U(tn)=in|U(tn1)=in1)=P(U(t0)=i0;U(t1)=i1;···;U(tn)=in)=i0pi0i1(t1−t0)···pin1in(tn−tn1)8∴OU过程是严平稳过程.6.11对标准布朗运动{B(t)},用表示质点在[0,1]中最后一次回到0的时刻:=sup{t|t≤1;B(t)=0}.计算的分布函数.解解解P(≤x)=P(N(x;1)=0);由布朗运动的Arcsin律有P(≤x)=2arcsin√x:9