sdch6DD

BUAA2020/8/41作业：6-13、6-14、6-15•什么是陀螺？•为什么要研究陀螺近似理论？•用什么方法研究？§6-3陀螺近似理论BUAA2020/8/42什么是陀螺？•陀螺(gyroscope)：绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。结构特性：陀螺转子为旋转体运动特性：绕旋转体的旋转轴高速转动（角速度大小为常量）BUAA2020/8/43为什么要研究近似理论问题:1、如何定性分析陀螺的动力学特性？2、如何应用陀螺近似理论研究实际工程问题？3、如何应用陀螺近似理论分析解释一些力学现象？目的：要建立陀螺的运动与其作用力间的简洁关系式BUAA2020/8/44用什么方法研究定点运动刚体的欧拉动力学方程'''''''''kjiLzzyyxxOJJJ)(dde)(FMLOOt''''''''''''''''''''')()()(zyxxyzzyzxzxyyxzyyzxxMJJJMJJJMJJJxyz'xo'z'y其中：Ox’、Oy’、Oz’为刚体对O点的惯量主轴（随体坐标轴）方程的特点：具有普遍性，适用范围广。形式复杂，不易做定性分析和简便计算。BUAA2020/8/45§6-3陀螺近似理论a),,('''JJJJyxz'''''''''kjiLzzyyxxOJJJ')(''''''''kjiLozzyyxxJJJa')('''''kjizyx利用陀螺的运动特性和机构特性')()''(''''kjizzyxJJ')(''''klzzlJJtJtJzzlOd'd)(d'd'''klLZ’'l'l'x'yOBUAA2020/8/46§6-3陀螺近似理论tOOddLM'zOJM陀螺近似理论公式：'d'dkkt,'d'dllttJtJzzlOd'd)(d'd'''klL)('''zzOJJlL''''zzzOJJJlL'zJ其中：MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和，O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是刚体的质心。Z’'lBUAA2020/8/47§6-3陀螺近似理论陀螺的动力学特性：•陀螺（力矩）效应•陀螺的进动性•陀螺的定向性•陀螺力矩(gyroscopictorque)：'zJgM0gMMO作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡'zOJM0'zOJM0'zOJMZ’BUAA2020/8/48§6-3陀螺近似理论例：已知且大小均为常量，均质圆盘质量为m，半径为R，CD＝2L，求陀螺力矩和支座C、D的附加动反力。21BUAA2020/8/49§6-3陀螺近似理论'zJgMgMCFDF21221mRMgLMFFgCD2当转子高速转动时，若转轴也转动，则陀螺力矩会产生附加动反力。21241mRL陀螺力矩陀螺力矩产生的作用效应称为陀螺效应。轴承C、D作用在CD轴上的附加动反力0gMMOBUAA2020/8/410§6-3陀螺近似理论观察的现象：下半圆盘向里斜,上半圆盘向外斜。'zJgM陀螺力矩动点:圆盘边缘上的一点M动系:固连在电机定子的o’x’y’z’'y'x'zorvCaCFM可以证明：陀螺力矩就是各质点科氏惯性力对O点之矩的矢量和。BUAA2020/8/411§6-3陀螺近似理论'zJgMgM当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘。221mRMg计算机硬盘的陀螺效应陀螺效应的实例LMFFgCD2241mRLBUAA2020/8/412§6-3陀螺近似理论问题：分析汽车转向时，车轮的陀螺效应.'zJgMgMv车身惯性力的影响BUAA2020/8/413§6-3陀螺近似理论问题：分析飞机盘旋飞行时，发动机转子的陀螺效应。'zJgM转子的陀螺效应：使飞机抬头或低头。vBUAA2020/8/414§6-3陀螺近似理论BUAA2020/8/415zO§6-3陀螺近似理论问题：分析舰艇在波浪中行进时，转动系统的陀螺效应。'zJgM陀螺效应:产生疲劳破坏BUAA2020/8/416§6-3陀螺近似理论gM问题：碾轮转动时，作用在碾盘上外侧的正压力和内侧的正压力相比，哪个大？'zJgM陀螺效应：碾盘外侧的正压力大BUAA2020/8/417§6-3陀螺近似理论陀螺的进动性'zOJMgm问题：如何确定陀螺转子的自转角速度方向？OMBUAA2020/8/418§6-3陀螺近似理论Z’mg'zOJMBUAA2020/8/419§6-3陀螺近似理论例题：质量为m的陀螺在地面上作定点运动，绕自身对称轴的转动惯量为J，绕该轴的角速度为ω，z’轴与铅垂轴z的夹角为α=300。陀螺质心C到O点的距离为L。求陀螺的进动角速度Ω和地面的约束力。Z’mgC解：应用陀螺近似理论：'zOJM030sinmgLMO||'zJ030sinJJmgLNCFFgammFNFmgFNNFmgz0:0230sinLaCFmaC0230sinLmFBUAA2020/8/420§6-3陀螺近似理论陀螺的定向性证明：当外力对刚体的质心之矩为零时，刚体绕最大或最小惯量转轴（k’轴）的转动是稳定的（k’的方向是稳定的）。BUAA2020/8/421§6-3陀螺近似理论''''''''''''''''''''')()()(zyxxyzzyzxzxyyxzyyzxxMJJJMJJJMJJJ设：z’轴是刚体的最大或最小惯量主轴。)3(0)()2(0)()1(0)(''''''''''''''''''yxxyzzzxzxyyzyyzxxJJJJJJJJJy'y'z'x'x'z'ωJJωJJ)()2()()1(0)()(''''''''''yyyzyxxxzxJJJJJJ0BA设：根据z’轴的性质有：根据欧拉动力学方程由于外力对质心之矩为零，则)()(''''''yzyxzxJJJBJJJA0''''yyxxBA?),(''0'0'kktzz然后两式相加得：BUAA2020/8/422§6-3陀螺近似理论0)(dd)e(FMLCCt'00''0kLCzzJ10,0'0'0'zyx设初始时均充分小和）可知（当给微小扰动后，根据)()(4''ttyx由此得到：刚体对质心C的动量矩为常矢量'''''''''kjiLCzzyyxxJJJ刚体对质心C的动量矩为：')(''ktJzz')(')(')()(''''''kjiLCtJtJtJtzzyyxx0CL''0'0'),(kktzz0''''yyxxBA0dd''''yyxxBA0)(d212'2'yxBACBAyx2'2'A、B、C同号)()(02'02'tBtACyx22''|()|,|()|(4)xyCCttABBUAA2020/8/423§6-3陀螺近似理论飞行器惯性导航BUAA2020/8/424§6-3陀螺近似理论高速旋转物体的其它动力学特性BUAA2020/8/425§6-3陀螺近似理论补充内容：定点运动刚体的动能xyz'xo'z'yiirvivviiiimvmT21212)()(cbacba)()(21iiimTrr)]([21iiimrr)]([21iiimvrOL21T'''''''''kjiLzzyyxxOJJJ''''''kjizyx)(212''2''2''zzyyxxJJJTBUAA2020/8/426§6-3陀螺近似理论例：求质量为m半径为R的均质圆盘的动能。已知：21,2''2'41,21mRJJmRJyxz'z'x'y211'zcos,sin2'2'yx)2(8121222mRT)'(212''2''2''zzyyxxJJJTBUAA2020/8/427§6-3陀螺近似理论Z’ZO思考题：质点A、B质量均为m，固连在不计质量的AB杆上，AB杆绕O点作定点运动。设：AO=BO=R，能否用陀螺近似理论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。ABZ’ZOBA'zJgMBUAA2020/8/428§6-3陀螺近似理论思考题：4个质点的质量均为m，固连在不计质量的AB和CD杆上，AB杆和CD杆垂直，绕O点作定点运动。设：AO=BO=CO=DO=R，能否用陀螺近似理论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。Z’ZODC'zJgMAB