高校力学经典课件-理论力学II-第12-15次课

第五章刚体定点运动自由刚体运动刚体运动的合成·陀螺仪近似理论补充：矢量运算的矩阵形式一矢量的坐标列阵和方阵矢量a在坐标轴上ox、oy和oz上的投影为a1、a2和a3，则123Taaaa323121000aaaaaaa为矢量a在坐标系oxyz中的坐标列阵为矢量a在坐标系oxyz中的坐标方阵二矢量运算的矩阵形式设任意矢量a、b、c在坐标轴oxyz上的坐标列阵为、、，,,cabc=abc=ab若则则四种矢量运算及其所对应的矩阵形式为：在坐标系oxyz中的坐标方阵为、、abcabc,b,bbkakaka若则,Tkabk=ab若则,cabc=ab若则圆盘的运动分析§5－1刚体绕定点运动的运动学描述刚体运动时，若体内或其外延部分上有一点在空间的位置保持不变，则这种运动称为刚体绕定点运动。1.运动方程以定点O为原点，取定坐标系Oxyz另取与刚体固结的动坐标系zyxOON－－节线－－进动角－－自转角－－章动角欧拉角)()()(321tftftf，，－－刚体绕定点运动的运动方程2.欧拉角Ψ-节线ON相对坐标轴Ox的夹角，称为进动角；θ-坐标轴Oz’相对坐标轴Oz的夹角，称为章动角；-坐标轴Ox’相对节线ON的夹角，称为自转角；节线ON:动坐标平面Ox’y’与定坐标平面Oxy的交线；坐标系Ox0y0z0到坐标系Ox3y3z3，位置变化可以通过以下三次连续转动来实现：Ox0y0z0首先绕Oz0轴转动角Ψ，到达坐标系Ox1y1z1标的位置；在此基础上，坐标系Ox1y1z1绕Ox1轴转动角θ,到达坐标系Ox2y2z2的位置。最后，坐标系Ox2y2z2绕Oz2轴转动角φ到达坐标系Ox3y3z3位置。()()()ttt012,,,000111222333OzOxOzOxyzOxyzOxyzOxyz方向余弦矩阵及其性质112131ccc设某刚体相对定坐标系Oxiyizi绕O点运动，坐标系Oxjyjzj为该刚体的连体坐标系；坐标系Oxjyjzj位置可以用该坐标系的三根坐标轴在定参考系Oxiyizi的各方向余弦来刻画。设Oxj、Oyj、Ozj轴在定坐标系Oxiyizi中的方向余弦为：122232ccc132333ccc排成矩阵111213212223313233ijcccccccccc称为方向余弦矩阵方向余弦矩阵及其性质方向余弦矩阵的性质1.方向余弦矩阵为正交矩阵，行列式值为11Tijijjicccdet1ijc2.任意矢量a在坐标系Oxiyizi和坐标系Oxjyjzj中坐标列阵（坐标方阵）之间满足关系ijijacaTijijijacac方向余弦矩阵及其性质方向余弦矩阵的性质4.方向余弦矩阵存在等于1的特征值ikijjkccc3.任意三套坐标系Oxiyizi、Oxiyjzj和Oxkykzk之间的方向余弦矩阵满足det0ijEc012,,,000111222333OzOxOzOxyzOxyzOxyzOxyz欧拉与方向余弦矩阵的关系欧拉角和方向余弦之间的关系03011223cccc01cossin0sincos0001c121000cossin0sincosc23cossin0sincos0001c03coscossincossincossinsincoscossinsinsincoscoscossinsinsincoscoscoscossinsincossincoscosc欧拉角的定义欧拉定理欧拉定理：做定点运动的刚体的任何位移，可以由此刚体绕过某轴的一次转动来实现。设O为定点，三角形OAB完全可以确定刚体位置。作三角形OAA’及OBB’的垂直平分面，交于直线OC，在直线OC上取一点D，则四面体ODAB与四面体ODA’B’全等整个刚体的方位变化可以看成是绕OC轴的一次转动设任意两套共原点的坐标系OXiYiZi和OXjYjZj，根据欧拉定理，从坐标系OXiYiZi到OXjYjZj的位置变化，可以由坐标系OXiYiZi，绕过点O的某轴线ON旋转一角度θ来实现。称轴线ON和转角θ为坐标系OXiYiZi到OXjYjZj的欧拉轴线和欧拉转角；可以将坐标系OXjYjZj相对坐标系OXiYiZi的方向余弦矩阵用欧拉轴线和欧拉转角表示。设ON的单位矢量在坐标系OXiYiZi的列阵为，坐标系OXjYjZj相对坐标系OXiYiZi的方向余弦矩阵就是关于n1，n2，n3和θ的函数欧拉定理方向余弦矩阵与欧拉轴欧拉转角的关系123TnnnijC211231322123223121322313(1cos)cos(1cos)sin(1cos)sin(1cos)sin(1cos)cos(1cos)sin(1cos)sin(1cos)sin(1cos)cosijnnnnnnncnnnnnnnnnnnnnn刚体做定点运动时，可将时间区间[t0,T]分成若干小段其分点为。01210,,,,,,,iiitttttTttit在每一小段时间间隔Δt内，即刚体由ti时刻到ti+1时刻的刚体方位变化等价看成是绕某轴OC*i转过θ*i角。**iit平均角速度为平均角速度方向为OC*i瞬时角速度为*0limiitt瞬时角速度的方向为OC*i极限位置OCi，OCi为ti瞬时转轴位置结论：刚体绕定点运动可以看成是一系列绕瞬时转轴的转动合成。瞬时转轴在空间不断变化，它在定参考系空间形成以定点O为为顶点的锥面，称为静瞬时轴面，简称静锥。同样瞬时转轴在刚体内部的位置也不断变化，它在刚体上留下的轨迹构成动瞬时轴面，它也是以O点为顶点的锥面，简称动锥。静锥在定参考系中静止不动，动锥与刚体相固结。刚体做定点运动时可看成动锥在静锥上做无滑动滚动。3.瞬时转动轴·角速度·角加速度为描述刚体角速度的变化快慢，引入刚体角加速度的概念。瞬时角加速度为0limtt思考？瞬时角加速度的方向是什么？与角速度同向吗3.瞬时转动轴·角速度·角加速度3.瞬时转动轴·角速度·角加速度tttddlim0一般情况下与不共线方向沿角速度矢量的矢端曲线的切线。定点运动刚体上各点的速度和加速度设某刚体相对定参考系ox0y0z0绕定点O运动，M是刚体上的任意一点。t时刻点M的矢径为r，t+Δt时刻矢径变为r’，根据欧拉定理，刚体从t时刻到t+Δt的位置变化可以由刚体绕某一轴线ON旋转某一角度Δθ来实现。过M点做与轴线ON垂直的平面β，垂足为O’，显然M’也在β平面内。沿ON做单位矢n，过M点做单位矢e1,e22nrenr1''MoeMo12sincos22rrere设矢量r与矢量n的夹角为αsinnrr直角三角形OO’M中有：'sinMor'''cosMOOOOMOOnrrnr定点运动刚体上各点的速度和加速度'cosoor22sincossin2rrnrnr等腰三角形O’MM’中有：2sinsin2rr因此：0limtrvt20002sincossin2limlimlimtttrnrnrrvnrtttr定点运动刚体上各点的速度和加速度vr()ddrardtdtrvrr矩阵表示，定参考系中000vrvr矩阵表示，连体坐标系中角速度合成定理aavr点的合成运动中的速度合成定理讨论刚体相对不同参考系的角速度之间的关系如图所示，某刚体相对固定坐标系ox0y0z0做定点运动，另有一动坐标系oxyz也相对固定坐标系做定点运动。刚体相对固定坐标系和动坐标系的的角速度为ωa和ωr，在该瞬时动坐标系相对固定坐标系的角速度为ωe。讨论三个角速度之间的关系rrvreevraer连体矢量对时间的导数、绝对导数与相对导数BAABrr连体矢量对时间的导数刚体上任意两点的有向线段称为刚体的连体矢量设某刚体相对固定坐标系ox0y0z0做定点运动，有向线段AB是刚体的任一连体矢量，rA和rB分别表示点A和点B的矢径，有()BABABABAABdrdrdABdtdtdtvvrrrrr000000112233aaeaeae绝对导数与相对导数的关系同一矢量对不同参考系的变化率是不同的，那么这些变化率之间有什么关系？设某动坐标系Oxyz相对固定坐标系Ox0y0z0绕O做定点运动，其角速度为ω，设一变矢量a，该矢量在固定坐标系和动坐标系中的表达式为112233aaeaeae矢量a的绝对导数矢量a的相对导数000000312123dadadadaeeedtdtdtdt312123dadadadaeeedtdtdtdtdadaadtdt连体矢量对时间的导数、绝对导数与相对导数角加速度合成定理aaddt点的合成运动中的加速度合成定理讨论刚体相对不同参考系的角加速度之间的关系某刚体相对固定坐标系ox0y0z0做定点运动，另有一动坐标系oxyz也相对固定坐标系做定点运动。刚体相对固定坐标系和动坐标系的的角速度为ωa和ωr，在该瞬时动坐标系相对固定坐标系的角速度为ωe。同样，有绝对角加速度εa、相对角加速度εr、和牵连角加速度εeaerrrddteeddtaerer4.刚体上各点的速度和加速度vrddddddvrartttarvra1－－转动加速度大小为2h方向垂直于和r指向如上图。2av－－向轴加速度其大小为12h方向垂直于和v指向瞬轴。刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴转动的角速度与矢径的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。例5－1求：齿轮上点M的速度和加速度。设OA=l，已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度,绕铅直轴OB转动1AC=r。解：齿轮中心点A的速度为sinAvOA点A绕定点O在水平面内作圆周运动1AvOA绕瞬轴OC转动的角速度的大小为sin1=常量它沿着OC指向如图所示点M的速度为1112cos2sin2sinsinMvMErll它的方向垂直于平面OMC指向如图行星齿轮的角速度为ddt因为只改变方向不改变大小而且它和z轴间夹角β的大小保持不变，所以它的矢端曲线是水平的圆周。1ddt沿此圆周的切线，指向转动的一方1的大小为cotcossinsin21111现在计算点M的加速度。转动加速度的大小为1a21211sincoscotllOMa它垂直由和OM形成的平面，指向如图向轴加速度的大小为2a21222sin2sin2llMEa它的方向自M指向点E（在铅直平面OAC内）21aaa2cos22122212aaaaa将值代入上式，21aa、并注意到22sinco