理论力学-第五章-刚体定点运动-自由刚体运动

第五章刚体定点运动自由刚体运动刚体运动的合成·陀螺仪近似理论圆盘的运动分析§5－1刚体绕定点运动的运动学描述刚体运动时，若体内或其外延部分上有一点在空间的位置保持不变，则这种运动称为刚体绕定点运动。1.运动方程以定点O为原点，取定坐标系Oxyz另取与刚体固结的动坐标系zyxOON－－节线－－进动角－－自转角－－章动角欧拉角)()()(321tftftf，，－－刚体绕定点运动的运动方程欧拉角的定义欧拉定理2.欧拉定理绕定点运动的刚体，从某一位置到另一位置的任何位移可以绕通过定点的某一轴转动一次而实现。证明：BCABACBACBCABACBACAACBBC3.瞬时转动轴·角速度·角加速度tt0lim矢量沿瞬轴，指向按右手法则规定tttddlim0一般情况下与不共线方向沿角速度矢量的矢端曲线的切线。4.刚体上各点的速度和加速度vrddddddvrartttarvra1－－转动加速度大小为2h方向垂直于和r指向如上图。2av－－向轴加速度其大小为12h方向垂直于和v指向瞬轴。刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴转动的角速度与矢径的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。例5－1求：齿轮上点M的速度和加速度。设OA=l，已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度,绕铅直轴OB转动1AC=r。解：齿轮中心点A的速度为sinAvOA点A绕定点O在水平面内作圆周运动1AvOA绕瞬轴OC转动的角速度的大小为sin1=常量它沿着OC指向如图所示点M的速度为1112cos2sin2sinsinMvMErll它的方向垂直于平面OMC指向如图行星齿轮的角速度为ddt因为只改变方向不改变大小而且它和z轴间夹角β的大小保持不变，所以它的矢端曲线是水平的圆周。1ddt沿此圆周的切线，指向转动的一方1的大小为cotcossinsin21111现在计算点M的加速度。转动加速度的大小为1a21211sincoscotllOMa它垂直由和OM形成的平面，指向如图向轴加速度的大小为2a21222sin2sin2llMEa它的方向自M指向点E（在铅直平面OAC内）21aaa2cos22122212aaaaa将值代入上式，21aa、并注意到22sincotlrrrl和得221)(9rlla§5－2自由刚体的运动)()()()()()(654321tftftftfztfytfxOOO，，，，－－自由刚体运动方程自由刚体内任一点M的速度aervvvOv设动点M在动坐标系中的矢径为ζξηOr刚体绕基点转动的瞬时角速度为Or则vrrr自由刚体内任一点的速度公式为MOvvrr由于牵连运动为平移，自由刚体内任一点的加速度合成式为reaaaa其中Oaaerrrrraara为刚体绕基点转动的瞬时角加速度O自由刚体内任一点的加速度公式为rr2r121araaaaaaOM，，§5－3刚体运动的合成刚体的任何复杂运动都可以由几个简单运动的合成而得到。1.平移与平移的合成小车上任一点的速度：21vvvvver12reaaaaa当刚体同时作两个平移时，刚体的合成运动仍为平移。加速度：2.绕两个平行轴转动的合成齿轮II上任一点M的速度Mv牵连速度的大小为Mrvvvee1eMO方向垂直于MO1相对速度的大小为2vOMrr方向垂直于MO2这时点M的速度等于与的矢量和。vevr瞬轴与两轴间的距离分别为和CO1CO2在点CreCOCO2r1eer21COCO与同向的情形如图er2122OvOOOCea齿轮绕瞬轴转动的角速度为21222OvOOOCOCaeCOCOOO2121era方向根据的方向确定2O当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角速度成反比。当和反向时如图erCOCOOO2121rea绝对角速度的转向，与中较大的一个相同。er当刚体同时绕两平行轴反向转动，刚体的合成运动为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对加速度之差，它的转向与较大的角速度的转向相同；瞬轴的位置外分两轴间的距离，在较大角速度的轴的外侧，外分与两个角速度成反比。当和等值而反向时er0a当刚体以同样大小的角速度，同时绕两平行轴而反向转动时，刚体的合成运动为平移，这种运动称为转动偶。转动偶3.绕相交轴转动的合成er112222COCBOACvvvhhAAOACOCBAA点C的绝对速度等于零。直线OC是刚体的瞬轴。ADA1AEAa1aAEADOACBOACBAAEOCAAD，11AEADOCOCa角速度的指向可由点A的速度方向确定。a21a当刚体同时绕两相交轴转动时，合成运动为绕瞬轴的转动，绕瞬轴转动的角速度等于绕两轴转动的角速度的矢量和。如果刚体绕相交于一点的3个轴或更多的轴转动时niin121当刚体同时绕相交于一点的多轴转动时，合成运动为绕瞬轴的转动。绕瞬轴转动的角速度等于绕各轴转动的角速度的矢量和，而瞬轴则沿此合矢量方向。4.平移与转动的合成（1）平移速度矢与转动角速度矢垂直的情形OvOC绕瞬轴转动的角速度a等于绕动轴转动的角速度zO（2）平移速度矢与转动角速度矢平行的情形刚体绕轴转动，同时又沿轴向运动－－螺旋运动。zO平移速度与转动角速度的比值－－螺旋率。Ovp若以s表示刚体沿轴的轴向位移zO为刚体绕轴的转角zOddddOsvtt，螺旋率可写成ddsp一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分一次：ps2πsp2πs表示刚体转过一周沿轴前进的距离－－螺距。（3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形刚体以角速度绕动轴转动，zO同时又以速度平移，OvOv和之间的夹角为θ。刚体的运动成为以的平移，和以绕瞬轴CC的转动的合成运动－－瞬时螺旋运动。2v例5－2已知：如图所示，系杆以角速度绕轴转动，半径为的行星齿轮活动地套在与系杆一端固结的轴上，并与半径为的固定齿轮相啮合。21OOe1O2r2O1r求：行星齿轮的绝对角速度。2以及它相对于系杆的角速度。r解：er21rr行星齿轮相对于系杆的角速度为e21rrr行星齿轮的绝对角速度为e21er2)1(rr2、以逆时针为正1、211r2rrrre2re2r1e10，r2rer1e21rrre212)1(rr例5－3已知：行星齿轮II与固定锥齿轮I相啮合，可绕动轴转动，而动轴以角速度绕定轴转动。设在点C处轮I的半径为，轮II的半径为。2OOe1OO1r2r求：锥齿轮II相对于动轴的角速度。r解：1e2rOOOOe21e12rrrOOOO2、研究齿轮I和II相对于动轴的运动2OO如图所示两齿轮相对于动轴的角速度分别为和2OO1r2r传动比211rr2rr将代入上式r21r得e21rr2rr1、例5－4已知：框架K和轴A一起以角速度ω绕轴I－II转动，半径为和彼此相固结的两个伞齿轮B和C可在轴A上自由转动。伞齿轮B与轴I上半径为的伞齿轮D相啮合，伞齿轮C与轴II上半径为的伞齿轮E相啮合。轴I的角速度和轴II的角速度。1r2r1R2RIII求：框架的角速度ω和齿轮B相对于框架的角速度。Br解：IIIIrIIr，齿轮的传动关系如下22BrIIr11BrIrRrRr，和中必定有一个的转向与图示的转向相反IIrBr1221IIIRrRr2112II21I12RrRrRrRr)(I11Ir11BrrRrR)(III211221BrRrRrRR例5－5求：t=1s时陀螺绕瞬轴转动的角速度。已知：陀螺绕定点运动时，如图所示3个欧拉角表示的运动方程为式中2π23246ttt，，t以s计以rad计，，解：24034ωωtω，，θψ当t=1s时2407ωωωθ，，ψωωωωθψa因为0rad/s27.30cos222ψaωωωωω''33'2123)180sin(arcsinattt246322，，§5－4陀螺仪近似理论陀螺现象工程中把具有一个固定点，并绕自身的对称轴高速转动的刚体－－陀螺。设陀螺以绕对称轴转动zO轴又以角速度绕定轴Oz转动ezOea)e(ddOOMtL自转进动在一般情况下，与自转轴不重合。)e(OOML，zO其中是陀螺对于对称轴的转动惯量zJzO动量矩矢近似与对称轴重合zO其大小等于zJtLuOdd)e(OMu－－质点系动量定理的运动学解释赖柴定理质点系对某定点的动量矩矢端的速度等于外力对同一点的主矩。zOJL)e(ddOOMtL1.自由陀螺保持自身对称轴在惯性参考系中的方位不变不计摩擦，外力对其质心O的力矩为零－－自由陀螺0dd0)e(tLMOO，OL恒量2.陀螺受力矩的作用，当力矩矢与对称轴不重合，对称轴将进动)(PMuO根据赖柴定理在重力的持续作用下，P对称轴将绕Oz转动zO这种运动称为进动zOJLuee)e(eOzMJsin)e(ezOJM3.陀螺效应和陀螺力矩陀螺效应是在高速转动的机械中，当转子的对称轴的方位改变时发生的一种物理现象。它的动量矩矢zJL方向沿此对称轴。如果轴z以角速度绕轴y转动e则动量矩矢端点A获得速度uLuezeOJuMe)(e)(gzeOJMMgM陀螺力矩－－当机械中高速转度部件的对称轴被迫在空间改变方位时，即对称轴被迫进动时，转动部件必对约束作用一个附加力偶，这种现象称为陀螺效应。例5－6已知：海轮上的汽轮机转子的转动轴沿船的纵轴x，转子对转轴的转动惯量为，转子的角速度为。如果海轮绕横轴y摆动，设摆动的规律是谐振动：摆幅为，周期为T。两轴承之间的距离为l。xJ0求：汽轮机转子的陀螺力矩和对轴承的压力。解：海轮绕y轴摆动的规律为02πsintT当船摆动时，汽轮机转子受迫进动，其进动角速度为0d2π2πcosdttTTe陀螺的力矩大小为g02π2πcosxMJtTT为正时，gM其转向为顺时针转向。转子对轴承A和B的最大压力为lTJFFxBA0maxmax2例5－7已知：碾子A在水平面上作纯滚动，杆OA以角速度绕铅直轴转动。设碾子的质量为m，半径为R，杆OA长为l。e求：碾子滚动时对平面的附加压力。解：AvlReeRl设由于陀螺效应碾子对平面有附加压力NFeNgAJlFMRJlJFAA2eeN设碾子惯性半径为400mm500mm3π1/szRe，，mg9.22e2N2