北航7系理论力学d-ch6E

BUAA2020/8/41作业:6-7、6-17、6-18§6-4、刚体一般运动的运动学与动力学BUAA2020/8/42刚体或刚体系一般运动的实例问题：如何确定自由刚体在空间的位置？BUAA2020/8/43§6-4-1刚体一般运动的运动学一、刚体一般运动的运动方程xyz定参考系111zyx平移参考系1x1y1z'oxyz'or一般运动=平移运动+定点运动)()()(3'2'1'tfztfytfxOOO)()()(321tftftf自由运动刚体的广义坐标为：,,,,,'''OOOzyxBUAA2020/8/44§6-4-1刚体一般运动的运动学二、刚体一般运动时其上点M的速度和加速度revvvMreaaaM''rvo)'(''rrao动点：M，动系：111zyox（平移动系）1x1y1z'o'rxyzr'orM刚体的一般运动：随基点的平移和绕基点的定点运动的合成刚体上点M的速度刚体上点M的加速度BUAA2020/8/45§6-4-1刚体一般运动的运动学例：半径为R的保龄球在地面上纯滚动，已知该球绕铅垂轴的角速度是，绕水平轴的角速度为，其大小均为常量ω0。求保龄球的角速度，角加速度，球体最高点M的速度和加速度。1z1x1x1z1y1o1z1x11xzik00解：（1）求角速度和角加速度tdd0（2）求M点的速度MOOM11rvvMPPOOP11rvvPOO11rvik)(0R01ov?：常矢量，11xz)(111xzPOrjR011xPOrBUAA2020/8/46§6-4-1刚体一般运动的运动学jR0MOxz111)(rjR0MOx11rjR02jR01x1z1y1o1z1xMP1ov：常矢量，11xzMOOM11rvvPOO11rv11xPor（3）求M点的加速度)(11'MOMOOMrraa?jvRo0101OajR0kiR0jR0jR00,01Mor?BUAA2020/8/47§6-4-1刚体一般运动的运动学1x1z1y1o1z1xMP1ov)(1MOMra)(11MOMOrvMOxz111)(rMOx11rjR0Ma1MOv111)(MOxzv1111MOxMOzvviR20kR20MajijkRR0000)(问题：如何求该瞬时M点运动轨迹的曲率半径?BUAA2020/8/48§6-4-1刚体一般运动的运动学例:已知半径为R的钢球在地面上纯滚动。O为球心，球体上的四点A、B、C、O共面，图示瞬时A、B两点的速度水平向右，大小均为u。求此瞬时球的角速度(大小和方向）。AvBvABCO''rvvoM取C为基点)1(CAArv)2(CBBrv0CBCArr0)(CBCArr0BArBAr//由（2）得：Ru2BAvvBUAA2020/8/49§6-4-1刚体一般运动的运动学例:已知半径为R的圆盘绕柱铰链C以匀角速度转动，T形框架绕z轴以匀角速度转动。求图示瞬时圆盘的角加速度以及圆盘最高点P的速度和加速度。12AC=L'x'y'zc21A1、运动分析：圆盘作刚体一般运动2、求圆盘的角速度：解：取圆盘为研究对象3、求圆盘的角加速度：''21ki)'(dd1it)'(2i1)(12BUAA2020/8/410'x'y'zc21A§6-4-1刚体一般运动的运动学P'21iR'rCa4、求最高点P的加速度：'rkreaaaaa'22jaLC)'('rraaCPRr')(12''21ki其中：''2121kiRR)'(r方法二：点的复合运动加速度合成定理'2''212122ikjaRRLPBUAA2020/8/411§6-4-1刚体一般运动的运动学三、刚体一般运动的运动微分方程eiFaCm)(dtderiCCFML''''''''''''''''''''')()()(CzyxCxCyzCzCyzxCzCxyCyCxzyCyCzxCxMJJJMJJJMJJJzCyCxCFzmFymFxm质心运动定理：相对质心的动量矩定理：1x1y1zc'rxyzr'orMBUAA2020/8/412§6-4-2刚体一般运动的动力学刚体一般运动基本物理量的计算（1）动量：Cvpm（2）对固定点O的动量矩：r)(COCOmLvrLC'''''''''rkjiLzCzyCyxCxCJJJ其中：（3）动能：r221CCTmvT'''''''''2121zyxCzCyCxzyxCzCyCxCzCyCxJJJvvvmmmvvvT2''2''2''r212121zCzyCyxCxCJJJT其中：其中：为中心惯量主轴',','CzCyCxBUAA2020/8/413定点运动刚体的动能xyz'xo'z'yiirvivviiiimvmT21212)()(cbacba)()(21iiimTrr)]([21iiimrr)]([21iiimvrOL21T'''''''''kjiLzzyyxxOJJJ''''''kjizyx)(212''2''2''zzyyxxJJJTBUAA2020/8/414§6-4-2刚体一般运动的动力学（4）角速度在惯量主轴上的投影：xyz'x'y'zN欧拉角z'zn'znzcossinsin'xsincossin'ycos'z10cos0sincossin0cossinsin'''zyx'knk),(BBUAA2020/8/415§6-4-2刚体一般运动的动力学CCCCzCyCxzyxvvv),('''BzyxBJBmTCCCCCCzyxzyxT2121qMqT21JBB00mMqTTCCCzyx,,2121'''''''''zyxCzCyCxzyxCzCyCxCzCyCxJJJvvvmmmvvvT用广义坐标及其对时间的导数描述刚体一般运动的动能BUAA2020/8/416§6-4-2刚体一般运动的动力学例:已知半径为R质量为m的均质圆盘可绕柱铰链C以角速度转动，T形框架绕z轴以角速度转动。求铰链C的约束力。12xyzc2gmo1AC=L＝2RA1、运动分析：刚体一般运动2、受力分析：zFCCyFCzMCyM3、建立动力学方程：eiCmFa)(dtderiCCFML解：取圆盘为研究对象21大小为常量21,BUAA2020/8/417§6-4-2刚体一般运动的动力学xyzc2gmo1AC=L＝2RAzFCCyFCzMCyMCa质心运动定理：CCmmFga22222RLaCmgFFmaCzCyC0mgFmRFCzCy222相对质心的动量矩定理：)(dtderiCCFML21BUAA2020/8/418§6-4-2刚体一般运动的动力学xyzc2gmo1A1M2M'y'x''''''''''''''''''''')()()(zyxxyzzyzxzxyyxzyyzxxMJJJMJJJMJJJ1'2'2',cos,sinzyx0,sin,cos'12'12'zyxcossin21'MMMxsincos21'MMMycossincos5.021212MMmR0'zMsincossin5.021212MMmR2122121,0mRMMBUAA2020/8/419§6-4-2刚体一般运动的动力学xyzc2gmo1A1M2M思考题:能否应用陀螺近似理论求解铰链C约束力偶的精确解。21'zgJM0gCMM2122121,0mRMMgMBUAA2020/8/420§6-4-2刚体一般运动的动力学xyzcgmo'z'y'xM例:已知半径为R质量为m的均质圆盘可绕OC轴自由转动，OC轴在力偶M的作用下绕铅垂轴转动，忽略所有摩擦。建立系统运动微分方程。设OC=L＝2R，OC框架对z轴的转动惯量为J方法一：应用拉格朗日方程方法二：应用动量矩定理BUAA2020/8/421方法一：应用拉格朗日方程xyzcgmo'z'y'xMr222121CCTmvJT2''2''2''r212121zCzyCyxCxCJJJTsin'xcos'y'z2'21mRJz2''41mRJJyxLvC222224181721mRmRJT系统的动能：BUAA2020/8/422方法一：应用拉格朗日方程222224181721mRmRJT'ddjjjQqTqTt)2,1(j0,QMQMmRJ)417(20212mRxyzcgmo'z'y'xMBUAA2020/8/423方法二：应用动量矩定理xyzcgmo'z'y'xMr)(COCOmJLvrkLC'''''''''rkjiLzCzyCyxCxCJJJ研究整体sin'xcos'y'zJLOz2mL)sin(''xCxJ)cos(''yCyJ)417(2mRJLOzzOzMLMmRJ)417(2BUAA2020/8/424方法二：应用动量矩定理xyzcgmo'z'y'xM研究圆盘：应用相对质心的动量矩定理'''zzzMJ0'''CzzCzJJ00'''''''''rkjiLzCzyCyxCxCJJJsin'xcos'y'z0'zM''''''''''''''''''''')()()(zyxxyzzyzxzxyyxzyyzxxMJJJMJJJMJJJBUAA2020/8/425§6-4-2刚体一般运动的动力学xCAB例：已知：，质心在AB轴的中点，长边为a，短边为b,初始时静止，若在D点作用于一个力F（始终垂直于板），D点到AB轴的距离为L。求当板转动一周时板的角速度和角加速度。bam,,'x'yy'x'y''''''kjizyx2'2'121,121maJmbJyx0'z