2012年考研数学三真题与答案解析

考研学子网倾情提供，更多免费资料在：年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221xxyx渐近线的条数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f()(A)1(1)(1)!nn(B)(1)(1)!nn(C)1(1)!nn(D)(1)!nn(3)设函数()ft连续，则二次积分22202cosd()dfrrr()(A)2224222202d()dxxxxxyfxyy(B)22242202d()dxxxxfxyy(C)22242222011d()dyyyxyfxyx(D)222422011d()dyyyfxyx(4)已知级数11 (1)sinnnnn绝对收敛，级数21(1)nann条件收敛，则()(A)102a(B)112a(C)312a(D)3 22a(5)设1100C,2201C,3311C,4411C,其中1234,,,CCCC为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)123,,(B)124,,(C)134,,(D)234,,(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002pAP.若P=（123,,），1223(,,)，则1QAQ()(A)100020001(B)100010002(C)200010002(D)200020001(7)设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则221PXY()考研学子网倾情提供，更多免费资料在：(A)14(B)12(C)8(D)4(8)设1234,,,XXXX为来自总体2(1,)N（0）的简单随机样本，则统计量1234|2|XXXX的分布为()(A)N（0,1）(B)t(1)(C)2(1)(D)F(1,1)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)1cossin4limtanxxxx(10)设函数ln,121,1xxfxxx，yffx，则xedydx(11)设连续函数(,)zfxy满足2201(,)22lim0(1)xyfxyxyxy则0,1d|z(12)由曲线4yx和直线yx及4yx在第一象限中围成的平面图形的面积为(13)设A为3阶矩阵，3A，*A为A的伴随矩阵。若交换A的第1行与第2行得矩阵B,则*BA(14)设A、B、C是随机事件，A与C互不相容，1()2PAB,1()3PC,则(|)PABC三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)求极限222cos40limxxxeex考研学子网倾情提供，更多免费资料在：(16)计算二重积分ddxexyxy，其中D是以曲线1,yxyx及y轴为边界的无界区域.(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y（件），且定两种产品的边际成本分别为202x（万元/件）与6y（万元/件）.(1)求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)Cxy（万元）；(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.考研学子网倾情提供，更多免费资料在：(18)证明21lncos1,(11)12xxxxxx(19)已知函数()fx满足方程'''()()2()0fxfxfx及''()()2xfxfxe.(1)求()fx的表达式；(2)求曲线220()()dxyfxftt的拐点.考研学子网倾情提供，更多免费资料在：(20)设100010001001aaAaa，1100(1)计算行列式A；(2)当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解.(21)已知1010111001Aaa，二次型123,,TTfxxxxAAx的秩为2.(1)求实数a的值；(2)求正交变换xQy将f化为标准形.考研学子网倾情提供，更多免费资料在：(22)设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为YX0120140141013021120112(Ⅰ)求2PXY；(Ⅱ)求Cov(,)XYY.（23）设随机变量X与Y相互独立，且服从参数为1的指数分布.记max,UXY，min,VXY.（Ⅰ）求V的概率密度()Vfv；（Ⅱ）求()EUV.考研学子网倾情提供，更多免费资料在：数三参考答案一、选择题12345678CCBDCBDB二、填空题9、2e；10、4；11、2dxdy；12、4ln2；13、27；14、341、【解析】2、【解析】3、【解析】4、【解析】5、【解析】6、【解析】7、【解析】考研学子网倾情提供，更多免费资料在：、【解析】9、【解析】10、【解析】11、【解析】12、【解析】考研学子网倾情提供，更多免费资料在：、【解析】14、【解析】三、解答题15、解：16、解：考研学子网倾情提供，更多免费资料在：、解：（I）(,)=20+2xxCxy，对x积分得：2(,)204xCxyxDy再对y求导有，(,)6yCxyDyy再对y积分有，262yDyyc所以22(,)20642xyCxyxyc，又(0,0)10000C，所以10000c所以22(,)2061000042xyCxyxy（II）x+y=50，把y=50-x代入22(,)2061000042xyCxyxy23()36115504xCxx令23()361155004xCxx，得x=24，y=50-24=26，这时总成本最小C（24,26）=11118万元（III）24,26(,)32xCxy（万元/件）经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。18、证明：令21lncos112xxfxxxx，212lnsin11xxfxxxxx00f222221411cos1111xxfxxxxx222244cos12011xxx所以00fxf即证得：21lncos11112xxxxxx19、解：（I）'''()()2()0fxfxfx对应的特征方程为220rr，r=-2，r=1所以212xxfxCeCe考研学子网倾情提供，更多免费资料在：把212xxfxCeCe代入''()()2xfxfxe，得到xfxe（II）同理，当x0时，0y可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。20、解：(I）4141001000010=101(1)10100100101001aaaaAaaaaaaa(II)对方程组Ax的增广矩阵初等行变换：2321001100110010101010101010010001000100010001001aaaaaaaaaaaaaaa421001010100100001aaaaaa可知，要使方程组Ax有无穷多解，则有410a且20aa，可知1a此时，方程组Ax的增广矩阵变为11001011010011000000，进一步化为最简形得10010010110011000000可知导出组的基础解系为1111，非齐次方程的特解为0100，故其通解考研学子网倾情提供，更多免费资料在：21、解：(1)由二次型的秩为2，知()2TrAA，故()()2TrArAA对矩阵A初等变换得101101101101011011011011100010010010101001000aaaaaaa因()2rA，所以1a(2)令202022224TBAA202202102022(2)22(2)122(2)(6)0224024024EB所以B的特征值为1230,2,6对于10，解1()0EBX得对应的特征向量为1(1,1,1)T对于22，解2()0EBX得对应的特征向量为2(1,1,0)T对于36，解3()0EBX得对应的特征向量为3(1,1,2)T将123,,单位化可得1211111111,1,1326102正交矩阵11132611132612036Q，则026TQAQ因此，作正交变换xQy，二次型的标准形为2223()()26TTTfxxAAxyAyyy考研学子网倾情提供，更多免费资料在：、解：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（Ⅰ）1120,02,1044PXYPXYPXY（Ⅱ）cov(,)cov(,)cov(,)XYYXYYYcov(,)XYEXYEXEY，其中2225,1,1,,33EXEXEYEY2245()199DXEXEX2252()133DYEYEY，23EXY所以，22cov(,)0,cov(,),cov(,),033XYXYYYDYXYY23、解：