2015年考研数学三真题及答案详解

.'.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设nx是数列,下列命题中不正确的是()(A)若limnnxa,则221limlimnnnnxxa(B)若221limlimnnnnxxa,则limnnxa(C)若limnnxa,则331limlimnnnnxxa(D)若331limlimnnnnxxa,则limnnxa【答案】(D)【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系.数列nxan对任意的子列knx均有knxak,所以A、B、C正确；D错(D选项缺少32nx的敛散性),故选D(2)设函数fx在,内连续,其2阶导函数fx的图形如右图所示,则曲线yfx的拐点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3)设2222,2,2Dxyxyxxyy,函数,fxy在D上连续,则,ddDfxyxy()(A)2cos2sin420004dcos,sinddcos,sindfrrrrfrrrr(B)2sin2cos420004dcos,sinddcos,sindfrrrrfrrrr()fx()0fx()yfx()fx.'.(C)210112d,dxxxfxyy(D)21202d,dxxxxfxyy【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，故选B.(4)下列级数中发散的是()(A)13nnn(B)111ln(1)nnn(C)2(1)1lnnnn(D)1!nnnn【答案】(C)【解析】A为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；C，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C.1(,)0,02sin4Drr2(,),02cos42Drr2sin2cos420004(,)(cos,sin)(cos,sin)Dfxydxdydfrrrdrdfrrrdr11113limlim1333nnnnnnnn13nnn32111ln(1)nnnP111ln(1)nnn111(1)1(1)1lnlnlnnnnnnnnn1(1)lnnnn11lnnn1(1)1lnnnn11(1)!(1)!1(1)limlimlim1!!(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnen1!nnnn.'.(5)设矩阵21111214aaA,21ddb.若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为()(A),ad(B),ad(C),ad(D),ad【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)Abadadadaadd，由()(,)3rArAb，故1a或2a，同时1d或2d.故选（D）(6)设二次型123,,fxxx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(,,)Peee，若132(,,)Qeee则123(,,)fxxx在正交变换xQy下的标准形为()(A)2221232yyy(B)2221232yyy(C)2221232yyy(D)2221232yyy【答案】(A)【解析】由xPy，故222123()2TTTfxAxyPAPyyyy.且200010001TPAP.又因为100001010QPPC故有200()010001TTTQAQCPAPC所以222123()2TTTfxAxyQAQyyyy.选（A）.'.(7)若,AB为任意两个随机事件,则:()(A)PABPAPB(B)PABPAPB(C)2PAPBPAB(D)2PAPBPAB【答案】(C)【解析】由于,ABAABB，按概率的基本性质，我们有()()PABPA且()()PABPB，从而()()()()()2PAPBPABPAPB，选(C).(8)设总体~,,XBm12,,,nXXX为来自该总体的简单随机样本,X为样本均值,则21niiEXX()(A)11mn(B)11mn(C)111mn(D)1mn【答案】(B)【解析】根据样本方差2211()1niiSXXn的性质2()()ESDX，而()(1)DXm，从而221[()](1)()(1)(1)niiEXXnESmn，选(B).二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)20ln(cos)lim__________.xxx【答案】【解析】原极限(10)设函数()fx连续，20()()d,xxxftt若(1)1,(1)5,则(1)________.f【答案】【解析】因为连续，所以可导，所以；因为，所以122200ln(1cos1)cos11limlim2xxxxxx2()fx()x2220()()2()xxftdtxfx(1)110(1)()1ftdt.'.又因为，所以故(11)若函数(,)zzxy由方程23e1xyzxyz确定，则(0,0)d_________.z【答案】【解析】当，时带入，得.对求微分，得把，，代入上式，得所以(12)设函数()yyx是微分方程20yyy的解，且在0x处取得极值3，则()________.yx【答案】【解析】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)设3阶矩阵A的特征值为2,2,1，2,BAAE其中E为3阶单位矩阵，则行列式________.B【答案】21【解析】A的所有特征值为2,2,1.B的所有特征值为3,7,1.所以||37121B.(14)设二维随机变量(,)XY服从正态分布(1,0;1,1;0)N，则(1)510(1)()2(1)5ftdtf(1)2f1233dxdy0x0y231xyzexyz0z231xyzexyz2323()(23)()xyzxyzdexyzedxyzdxyz23(23)xyzedxdydzyzdxxzdyxydz00x0y0z230dxdydz(0,0)1233dzdxdy2()2xxyxee20yyy22021212()xxyxCeCe()yx0x(0)3y(0)0y11C22C2()2xxyxee.'.{0}_________.PXYY【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)XNYN，而且XY、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}PXYYPXYPXYPXY11111{1}{0}{1}{0}22222PXPYPXPY.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数3()ln(1)sin,()fxxaxbxxgxckx.若()fx与()gx在0x时是等价无穷小，求,,abk的值.【答案】111,,23abk【解析】法一：因为，，则有，，可得：，所以，．法二：由已知可得得由分母，得分子，求得233ln(1)()23xxxxox33sin()3!xxxox23333000(1)()()()ln(1)sin231limlimlim()xxxaaaxbxxoxfxxaxbxxgxkxkx100213aabak11213abk300sin)1ln(lim)()(lim1kxxbxxaxxgxfxx203cossin11limkxxbxxbxax03lim20kxx)cossin11(lim0xbxxbxax0)1(lim0ax.'.c；于是由分母，得分子，求得；进一步，b值代入原式，求得(16)(本题满分10分)计算二重积分()ddDxxyxy，其中222{(,)2,}.Dxyxyyx【答案】245【解析】)()(lim10xgxfx203cossin111limkxxbxxbxx）（xkxxxbxxxbxx13cos)1(sin)1(lim20203cos)1(sin)1(limkxxxbxxxbxxkxxxbxxbxxxbxxbxbx6sin)1(coscos)1(cos)1(sin1lim006lim0kxx]sin)1(coscos)1(2sin1[lim0xxbxxbxxxbxbx0)cos21(lim0xbx21b)()(lim10xgxfxkxxxxxxxxxx6sin)1(21cos21cos)1(sin211lim0kxxxxxxxxxxxxxxx6cos)1(21sin21sin)1(21sin21cos21sin)1(coscos21lim0k621.31k2()DDxxydxdyxdxdy2212202xxdxxdy122202(2)xxxdx.'.(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC为边际成本，为需求弹性(0).(I)证明定价模型为11MCP；(II)若该商品的成本函数为2()1600CQQ，需求函数为40QP，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II).【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以,故当时，利润最大.(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)(本题满分10分)设函数()fx在定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI，曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f，求()fx表达式.【答案】84fxx2sin12222400222222sin2c