2018年考研数学三试题及全面解析(Word版)

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题与全面解析（Word版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.下列函数中在0x处不可导的是（）（A）()sinfxxx（B）()sinfxxx（C）()cosfxx（D）()cosfxx【答案】(D)【解析】根据导数定义，A.000sin()(0)limlimlim0xxxxxxxfxfxxx，可导；B.000sin()(0)limlimlim0xxxxxxxfxfxxx,可导；C.20001cos1()(0)2limlimlim0xxxxxfxfxxx，可导；D.200011cos122limlimlimxxxxxxxxx，极限不存在。故选（D）.2.设函数()fx在[0,1]上二阶可导。且10()0fxdx，则（）（A）当()0fx时，1()02f（B）当()0fx时，1()02f（C）当()0fx时，1()02f（D）当()0fx时，1()02f【答案】（D）【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为012x。将函数()fx在012x处展开，有2111()1()()()()()2222!2ffxffxx，其中12x。两边积分，得1112000111()10()()()()()2222!2ffxdxffxdxxdx1201()1()()22!2ffxdx，由于120()1()0()02!2ffxxdx，所以1()02f，应选（D）.【解析二】排除法。（A）错误。令1()2fxx，易知10()0fxdx，()10fx，但是1()02f。（B）错误。令21()3fxx，易知10()0fxdx，()20fx，但是1()02f。（C）错误。令1()2fxx，易知10()0fxdx，()10fx，但是1()02f。故选（D）.3.设2222(1)1xMdxx，221xxNdxe，22(1cos)Kxdx，则（）（A）MNK（B）MKN（C）KMN（D）KNM【答案】（C）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。22222222222(1)122(1)111xxxxMdxdxdxxxx，2222(1cos)1Kxdxdx，令()1,(,)22xfxexx，则()1xfxe，当(,0)2x时，()0fx，当(0,)2x时，()0fx，故对(,)22x，有()(0)0fxf，因而11xxe，222211xxNdxdxe，故KMN。应选（C）.4.设某产品的成本函数()CQ可导，其中Q为产量。若产量为0Q时平均成本最小，则（）（A）0()0CQ（B）00()()CQCQ（C）000()()CQQCQ（D）000()()QCQCQ【答案】（D）【解析】平均成本()(),CQCQQ2()()()dCQCQQCQdQQ，由于产量为0Q时平均成本最小，因此000()()0CQQCQ，故选（D）5.下列矩阵中阵，与矩阵110011001相似的是（）（A）111011001（B）101011001（C）111010001（D）101010001【答案】（A）【解析】记矩阵110011001H，则秩()3rH，迹()3trH,特征值1（三重）。观察,,,ABCD四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2rEH,()2rEA，()1rEB()1rEC,()1rED。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kEA与kEX相似（k为任意常数），从而()()rkEArkEX），故选（A）,6.设,AB是n阶矩阵，记()rX为矩阵X的秩，(,)XY表示分块矩阵，则（）（A）(,)()rAABrA（B）(,)()rABArA（C）(,)max{(),()}rABrArB（D）(,)(,)TTrABrAB【答案】（A）【解析】把矩阵,AAB按列分块，记1212(,,),(,,)nnAAB，则向量组12,,n可以由向量组12,,n线性表出，从而12,,n与12,,n，12,,n，等价，于是(,)()rAABrA，故选（A）。7.设随机变量X的概率密度()fx满足(1)(1)fxfx，且20()0.6fxdx则{0}PX()（A）0.2（B）0.3（C）0.4（D）0.5【答案】（A）【解析】由(1)(1)fxfx可知概率密度函数()fx关于1x对称，结合概率密度函数的性质()1fxdx及已知条件20()0.6fxdx，容易得出0201{0}()[()()]0.22PXfxdxfxdxfxdx，故选（A）。8.设12,,,(2)nXXXn是来自总体2(,)(0)N的简单随机样本。令__11niiXXn，__211()1niiSXXn，*211()niiSXn，则（）（A）()~()nXtnS（B）()~(1)nXtnS（C）*()~()nXtnS（D）*()~(1)nXtnS【答案】（B）【解析】由22~(,)~(,)~(0,1)XXNXNNnn，222(1)~(1)nSn，且Xn与22(1)nS相互独立，所以22()(1)(1)~(1)nXXnSntnSn，故选（B）。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程为。【答案】43yx.【解析】函数的定义域为(0,)，22yxx，222yx；34yx。令0y，解得1x，而(1)0y，故点(1,1)是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率(1)4y，所以切线方程为43yx。10.2arctan1xxeedx。【答案】【解析】22arctan1arctan1xxxxeedxede222222222arctan1arctan11arctan111(1)arctan11arctan11xxxxxxxxxxxxxxxeeedeeeedeeeedeeeeC11、差分方程25xxyy的通解是_____。【答案】25xxyC，其中C为任意常数。【解析】由于21()xxxxyyyy21121()()2xxxxxxxyyyyyyy，原方程化为2125xxyy，即125xxyy。该一阶线性非齐次差分方程对应的齐次差分方程为120xxyy，其通解为2xxyC。设原方程的特解为*1yC,代入原方程得111255CCC.故原方程的通解为25xxyC。12.设函数()fx满足()()2()()fxxfxxfxxx(0)x，且(0)2f，则(1)___f。【答案】2e。【解析】由()()2()()(0)fxxfxxfxxxx可得()()()2()(0)fxxfxxxfxxxx两边取极限得0()()lim2()xfxxfxxfxx，即()2()fxxfx解一阶线性齐次微分方程，有22()xdxxfxCeCe，代入(0)22fC，故2()2(1)2xfxefe。2222()2()0xyzxyzxyyzzx12xyyzzx由轮换对称性可得：111()23663LLLxydsxyyzzxdsds。13.设A为3阶矩阵，123,,是线性无关的向量组,若112A，223A313A，则____A。【答案】2.【解析】已知123123123101(,,)(,,)(,,)110011AAAA因为123,,线性无关，所以矩阵123(,,)P可逆，0P,1101110011APP11011011101102011011APP.，14.设随机事件,AB,C相互独立，,1()()()2PAPBPC，则()____PACAB。【答案】13.。【解析】{()}()()()()()()PACABPACABCPACABPABPAPBPAB()1()()()()3PACPAPBPAPB,三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）已知实数满足1lim[()]2xxaxbex.，求,ab。【解析一】令1tx，可得0()1lim2ttabtet................................................................（1）于是0lim[()1]101ttabteaa对（1）式使用洛必达法则，有00()1limlim[()]2tttttabtebeabtebat故1,1ab。【解析二】令1tx，可得00()1()[1()]1limlimtttabteabttttt0(1)()()lim2taabttt，于是101,12aabab。16.（本题满分10分）设平面区域D由曲线23(1)yx与直线3yx及y轴围成，计算二重积分2Dxd。【解析】积分区域如图示，2223(1)22222030(3(1)3)xxIdxxdyxxxdx2222322003(1)3xxdxxdx，其中2sin222224003(1)3sincosxtxxdxttdt240333sin2288432tdt22342200333416xdxx，故31162I。17.（本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【答案】面积之和存在最小值，min1433S。【解析】设圆的半径为x，正方形的边长为y，三角形的边长为z，则2432xyz，三个图形的面积之和为2223(,,)4Sxyzxyz，则问题转化为“在条件2432xyz，0,0,0xyz下，求三元函数2223(,,)4Sxyzxyz的最小值”。令2223(2432)4Lxyzxyz解方程组220240330224320xyzLxLyLzLxyz，得到唯一驻点1433243323433xyz