含绝对值函数的最值问题

专题三:含绝对值函数的最值问题1.已知函数2()2||fxxxa(0a)，若对任意的[0,)x，不等式(1)2()fxfx恒成立，求实数a的取值范围.不等式12fxfx化为2212124xxaxxa即：242121xaxaxx（*）对任意的0,x恒成立因为0a，所以分如下情况讨论：[来源:学科网ZXXK]①当0xa时，不等式（*）24120[0,]xxaxa对恒成立②当1axa时，不等式（*）即24160(,1]xxaxaa对恒成立由①知102a，2()416(,1]hxxxaaa在上单调递减2662aa或11626222a2min()4120[0,]()(0)120102gxxxaagxgaa在上单调递增只需2min()(1)420hxhaaa只需2.已知函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝x2＋2ax＋1(a为正数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等．(1)求a的值；(2)求函数f(x)＋g(x)的最值．【解析】(1)由题意f(0)＝g(0)，∴|a|＝1.又∵a0，∴a＝1.(2)由题意f(x)＋g(x)＝|x－1|＋x2＋2x＋1.当x≥1时，f(x)＋g(x)＝x2＋3x在[1，＋∞)上单调递增，当x1时，f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2在－12，1上单调递增，在(－∞，12]上单调递减．因此，函数f(x)＋g(x)在(－∞，12]上单调递减，在－12，＋∞上单调递增．所以，当x＝12时，函数f(x)＋g(x)的最小值为74；函数无最大值．5.已知函数2()2fxxxxa，其中aR．（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16fx在[1,2]x上恒成立，求a的取值范围．6.设函数baxxxf||)(，,abR[来源:学科网]（1）若11,4ab，求函数()fx的零点；（2）若函数)(xf在]1,0[上存在零点，求实数b的取值范围．解：（Ⅰ）分类讨论解得：112,22xx...................................................4分（Ⅱ）函数)(xf在]1,0[上存在零点，即||xxab，[0,1]x上有解，令()||gxxxa，只需{|(),[0,1]}byygxx..................................................5分当0a时，2()()gxxxaxax，在]1,0[递增，所以()[0,1]gxa，即10ab...............................................................................7分当1a时，2()()gxxaxxax，对称轴2ax又当2a()gx在]1,0[递增，所以()[0,1]gxa，即10ab当12a()gx在[0,]2a递增，[,1]2a递减，且所以2()[0,]4agx，即204ab...............................................................................................................................................10分当01a时，22[0,]()()[,1]xaxxagxxaxxaxxa易知，()gx在[0,]2a递增，[,]2aa递减，[,1]a递减，所以min()0fx，2max(){(),(1)}{,1}4afxfafa，当02(21)a，max()(1)1fxfa，所以()[0,1]gxa，即10ab当2(21)1a，2max()()4afxfa，所以2()[0,]4agx，即204ab.....................................................................................................................................................14分综上所述：当2(21)a时，10ab当2(21)2a，204ab当2a，10ab........................................................................................15分7.已知函数243fxxaxa．（I）若fx在区间0,1上不单调，求a的取值范围；（II）若对于任意的(0,4)a，存在00,2x，使得0fxt，求t的取值范围．解：401242aa……5分（II）解法：||12113fxxaxxxa……9分Q011x，03max1,3xaaa……………13分且上述两个不等式的等号均为0x或2时取到，故max1,24||3,02aafxaa故max||1fx，所以1t……15分、8.已知函数2()1,()|1|fxxgxax．（Ⅰ）若当xR时，不等式()()fxgx≥恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求函数()|()|()hxfxgx在区间[2,2]上的最大值．解：（1）不等式()()fxgx≥对xR恒成立，即2(1)|1|xax≥（*）对xR恒成立，①当1x时，（*）显然成立，此时aR；②当1x时，（*）可变形为21|1|xax，令21,(1),1()(1),(1).|1|xxxxxxx因为当1x时，()2x，当1x时，()2x，所以()2x，故此时2a≤.综合①②，得所求实数a的取值范围是2a≤.（2）因为2()|()|()|1||1|hxfxgxxax=2221,(1),1,(11),1,(1).xaxaxxaxaxxaxax≤≥…10分①当1,22aa即时，结合图形可知()hx在[2,1]上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3haha，经比较，此时()hx在[2,2]上的最大值为33a.②当01,22aa即0≤≤≤≤时，结合图形可知()hx在[2,1]，[,1]2a上递减，在[1,]2a，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3haha，2()124aaha，经比较，知此时()hx在[2,2]上的最大值为33a.③当10,02aa即-2≤≤时，结合图形可知()hx在[2,1]，[,1]2a上递减，在[1,]2a，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3haha，2()124aaha，经比较，知此时()hx在[2,2]上的最大值为3a.④当31,222aa即-3≤≤时，结合图形可知()hx在[2,]2a，[1,]2a上递减，在[,1]2a，[,2]2a上递增，且(2)330ha,(2)30ha≥，经比较，知此时()hx在[2,2]上的最大值为3a.当3,322aa即时，结合图形可知()hx在[2,1]上递减，在[1,2]上递增，故此时()hx在[2,2]上的最大值为(1)0h.综上所述，当0a≥时，()hx在[2,2]上的最大值为33a；当30a≤时，()hx在[2,2]上的最大值为3a；当3a时，()hx在[2,2]上的最大值为0.