三角函数的诱导公式ppt

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三角函数的诱导公式同角三角函数的基本关系平方关系:商数关系:1cossin22cossintan),2(Zkk),2(Zkk同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切。1.3三角函数的诱导公式π+α、-α、π-α的诱导问题提出t57301p21.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的?α的终边P(x,y)Oxysinycosxtan(0)yxx2.2kπ+α(k∈Z)与α的三角函数之间的关系是什么?公式一:sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ()3.你能求sin750°和sin930°的值吗?21?4.利用公式一,可将任意角的三角函数值,转化为00~3600范围内的三角函数值.其中锐角的三角函数是我们熟悉的,而对于900~3600范围内的三角函数值,能否转化为锐角的三角函数值,这就是我们需要研究和解决的问题.α的终边xyoπ+α的终边思考:对于任意给定的一个角α,角π+α的终边与角α的终边有什么关系?思考:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则角π+α的终边与单位圆的交点坐标如何?α的终边xyoπ+α的终边P(x,y)Q(-x,-y)思考:根据三角函数定义,sin(π+α)、cos(π+α)、tan(π+α)的值分别是什么?α的终边xyoπ+α的终边P(x,y)Q(-x,-y)sin(π+α)=-ycos(π+α)=-xtan(π+α)=yx思考:对比sinα,cosα,tanα的值,π+α的三角函数与α的三角函数有什么关系?公式二:tan)tan(cos)cos(sin)sin(知识探究(二):-α,π-α的诱导公式:思考:对于任意给定的一个角α,-α的终边与α的终边有什么关系?yα的终边xo-α的终边思考:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则-α的终边与单位圆的交点坐标如何?yα的终边xo-α的终边P(x,y)P(x,-y)xyxy)tan()cos()sin(公式三:tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考:根据三角函数定义,-α的三角函数与α的三角函数有什么关系?yα的终边xo-α的终边P(x,y)P(x,-y)思考:利用π-α=π+(-α),结合公式二、三,你能得到什么结论?公式四:tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考:公式一~四都叫做诱导公式,他们分别反映了2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数与α的三角函数之间的关系,你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?同角三角函数的基本关系平方关系:商数关系:1cossin22cossintan),2(Zkk),2(Zkk同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切。tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tank2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值,等于α的同名函数值,再放上将α当作锐角时原函数值的符号.利用诱导公式一~四,可以求任意角的三角函数,其基本思路是:这是一种化归与转化的数学思想.任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π的角的三角函数锐角的三角函数tan32cos()3sin()4cos()sin(2)例3.已知:,求的值。2cos3sin23tan74cossin4tantan3解:∵∴原式3sin5tan[cos(3)sin(5)]例4.已知,且是第四象限角,求的值。tan[cos(3)sin(5)]tan[cos()sin()]tan(cossin)tansintancossin(tan1)43cos,tan542120解:由已知得:,∴原式理论迁移例1求下列各三角函数的值:cos225)1(311sin)2()316sin(-)3()cos(-2040)4(31例2已知cos(π+x)=,求下列各式的值:(1)cos(2π-x);(2)cos(π-x).例3化简:(1);(2).)-cos(-180)180-sian(-)360sin()cos(180tan585)cos(-350)210(sincos1902.诱导公式一~四要灵活应用,要点:负化正,大化小,化至锐角解决了!小结1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意义时恒成立.3.利用诱导公式一~四,可以求任意角的三角函数,其基本思路是:这是一种化归与转化的数学思想.任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π的角的三角函数锐角的三角函数作业:P27练习:1,2,3,4.1.3三角函数的诱导公式第二课时问题提出1.诱导公式一、二、三、四分别反映了2kπ+α(k∈Z)、π+α、-α、π-α与α的三角函数之间的关系,这四组公式的共同特点是什么?cosxcosx函数同名,象限定号.对形如π-α、π+α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数,对形如、的角的三角函数与α角的三角函数,是否也存在着某种关系?这需要我们作进一步的探究!22pa+思考1:sin(90°-60°)与sin60°的值相等吗?相反吗?思考2:sin(90°-60°)与cos60°,cos(90°-60°)与sin60°的值分别有什么关系?据此,你有什么猜想?2cos)2(sin知识探究(一):的诱导公式2cos)2(sincos()sin2paa-=cos)2(sin思考3:如果α为锐角,你有什么办法证明,?cos()sin2paa-=αabc2pa-sin()cos2bcpaa-==cos()sin2acpaa-==思考5:点P1(x,y)关于直线y=x对称的点P2的坐标如何?思考4:若α为一个任意给定的角,那么的终边与角α的终边有什么对称关系?2α的终边Oxy的终边2思考6:设角α的终边与单位圆的交点为P1(x,y),则的终边与单位圆的交点为P2(y,x),根据三角函数的定义,你能获得哪些结论?2α的终边P1(x,y)Oxy的终边2P2(y,x)公式五:sin)2cos(cos)2sin(知识探究(二):的诱导公式2)]2(cos[)2cos()]2(sin[)2sin(思考2:与有什么内在联系?22cos)2sin(sin)2cos()2(2公式六:sin)2cos(cos)2sin(思考6:正弦函数与余弦函数互称为异名函数,你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗?sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin(的三角函数值,等于α的同名函数值,再放上将α当作锐角时原函数值的符号.2思考5:根据相关诱导公式推导,3sin(),2pa-3cos(),2pa-3sin(),2pa+)23cos(cossincossin思考7:诱导公式可统一为的三角函数与α的三角函数之间的关系,你有什么办法记住这些公式?)Zk(2k奇变偶不变,符号看象限.理论迁移例1化简:)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2例2已知,求的值32)6(cos)32(sin例3已知,求的值.31)30(sin)60(sin1)60(cos)30(tan12.诱导公式是三角变换的基本公式,其中角α是任意角,应用时要注意整体把握、灵活变通.小结作业1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系,并具有一定的规律性,“奇变偶不变,符号看象限”,是记住这些公式的有效方法.作业:

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