21.4-二次函数的应用(1)

21.4二次函数的应用第1课时利用二次函数的最值解决实际问题(1)-----与面积和利润有关1.当x=时,y=3（x-5）2+6有最___值为.2.当x=时,y=-2x2+8x-7有最__值为.56变式：函数y=-2x2+8x-7的函数值y的取值范围为.21y≤1小大方法一：(配方法)y=-2x2+8x-7=-2（x-2）2+122bxa方法二顶点法将代入函数式可得y=1-202462-4xy（2）若－3≤x≤3，当x=时，函数最小值是。当x=时，函数最大值是。1、图中所示的二次函数图像的解析式为：（1）当x=时，函数最小值是。13822xxy13822xxy（3）若0≤x≤3，当x=时，函数最小值是。当x=时，函数最大值是。-2-255535130553自变量x范围决定最值的大小2.已知矩形的周长等于12cm,一条边长为x(cm),面积为y(cm2),(1)求y与x的函数关系式（写出x取值范围）.(2)矩形的长为多少时,其面积最大？最大面积是多少？解(1)根据题意得y=x(6-x)当x为3cm,最大面积是9cm2(0＜x＜6)xy1222xx(2)y=x(6-x)=-(x-3)2+9例题分析：例1：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？解：设边长为xm，则𝑆=𝑥20−𝑥=−𝑥2+20𝑥(0𝑥20)所以，当x=10m时，面积最大，最大值为100𝑚2变式：有一条长为7.2米的木料，做成如图21－4－1所示的窗框，问窗框的高和宽各取多少米时这个窗户的面积最大．(不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积)解：设窗框的宽是x米，则窗框的高是7.2－3x2米，则窗的面积S＝x·7.2－3x2＝－32x2＋185x，配方，得S＝－32x－652＋5425，所以，当x＝1.2米时，S有最大值．当x＝1.2时，7.2－3x2＝1.8.∴当窗框的宽是1.2米，高是1.8米时，窗的面积最大．第1课时利用二次函数的最值解决实际问题例2、某商店购进一批单价为8元的日用品，如果以单价10元出售，那么每天可以售出100件．根据销售经验，这种日用品的销售单价为x元，其销售量为(200－10x)件．将销售价定为多少元时，才能使每天所获销售利润最大？解：设销售单价定为x元，每天所获利润为y元，则y＝(200－10x)(x－8)＝－10x2＋280x－1600＝－10(x－14)2＋360.所以将销售单价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元．例3、如图在△ABC中,AB=8㎝,BC=6㎝,∠B=90°点P从点A开始沿AB边向点B以2㎝／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1㎝／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，（1）t秒后，BQ=,AP=,PB=.(2)当t为多少，△PBQ面积S最大？最大面积是多少？ABCPQ2t8-2tt解(1)设P点运动的时间为t秒，则BQ=t,AP=2t，PB=8-2t，86当t=2秒时，△PBQ面积S最大是4。(2)S=𝟏𝟐QB·PB=𝟏𝟐t(8-2t)=-(t-2)2+4(0t4)1、周长为16cm的矩形的最大面积为____[解析]设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为(8－x)cm，其面积S＝x(8－x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2.2.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为15m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2．(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积S为45m2的花圃,AB的长是多少米？(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法；如果不能,请说明理由．xxx24-3xS=x(24-3x)=-3x2+24x（3≤x8）3m或5mS=-3(x-4)2+48对称轴为x=4，当3x5时，s45，当x=4时，S取最大值48。练习3：某工厂计划购进的A、B两种材料共50箱．设A种材料购进了x箱．(1)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数关系式(求函数关系式不取近似值)；x1520253038404550y10约27.5840约48.20约49.10约47.1240约26.99(2)确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．解：(1)画图如图所示：由所画简图可知该函数为二次函数，设二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c，由图象可知二次函数经过点(15，10)，(25，40)，(45，40)，将三点坐标代入二次函数关系式，可得a＝－0.1，b＝7，c＝－72.5，∴二次函数的关系式为y＝－0.1x2＋7x－72.5.(2)y＝－0.1x2＋7x－72.5＝－0.1(x－35)2＋50，因而，当x＝35时，能让厂家获得最大利润，最大利润为50万元．