幂函数

1幂函数一．定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．在下列函数中，哪些是幂函数.（1）2xy（2）23xxy（3）xy（4）1x3y2（5）2x2y（6）0xy二．图象幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示：三幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR{x|x∈R且x≠0}值域RR{y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减定点（0,0），（1,1）（1,1）2(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当pqx(其中互质，和)，（如图）如：当2,2a时，幂函数是；当11,1,3,3a时，幂函数是．(5)图象特征：幂函数，当（下凸）时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方；当（上凸）时，若，其图象在直线上方，若,其图象在直线下方.知识梳理1．概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.性质：3（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；（2）当0a时，幂函数在[0,)上；当0a时，幂函数在(0,)上；（3）当2,2a时，幂函数是；当11,1,3,3a时，幂函数是．基础练习(1).下列函数中不是幂函数的是（C）A．yxB．3yxC．2yxD．1yx(2).下列函数在,0上为减函数的是（）答案：BA．13yxB．2yxC．3yxD．2yx(3).下列幂函数中定义域为0xx的是（）答案：DA．23yxB．32yxC．23yxD．32yx典型例题求定义域例1求下列函数的定义域：（1）23yx（2）56yx（3）45yx（4）32yx练习：求代数式31-1-）（x有意义的取值范围.解析：331--1|x|11-）（x，要使31-1-）（x有意义，只需01-x，则1x，，，11--启示：要善于与已学过的知识联系，解决新问题，同时也是善于将新概念理解为已学过的知识的拓展。比较大小例2比较大小：4（1）11221.5,1.7（2）33(1.2),(1.25)（3）1125.25,5.26,5.26（4）30.530.5,3,log0.5解：（1）∵12yx在[0,)上是增函数，1.51.7，∴11221.51.7（2）∵3yx在R上是增函数，1.21.25，∴33(1.2)(1.25)（3）∵1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，∴115.255.26；∵5.26xy是增函数，12，∴125.265.26；综上，1125.255.265.26（4）∵300.51，0.531，3log0.50，∴30.53log0.50.53练习：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2223332.5,(1.4),(3)（2）3338420.16,0.5,6.25（3）11121333322253(),(),(),3,()3532解：（1）222333(1.4)2.5(3)（2）3338246.250.50.16,（3）11211333322523()()()()35332小结与拓展：在解决比较大小的问题时常用到幂函数图像及性质利用单调性解不等式例3若11(1)(32)mm，试求实数m的取值范围．解析：（分类讨论）：（1）10320132mmmm，，，解得2332dm；（2）10320132mmmm，，，此时无解；（3）10320mm，，，解得1m．5综上可得23(1)32m，，∞．变式：若33(1)(32)mm，试求实数m的取值范围．解析：（利用单调性）：由于函数3yx在()，∞∞上单调递增，所以132mm，解得23m．练习：根据幂函数的单调性求下列各式中参数a的范围(1)43435.0a(2)3232)42()2(a(3)22)23()1(aa性质的综合运用例4已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．解：∵幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，∴2230mm，∴13m；∵mZ，∴2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，∴223mm是奇数，∴0m或2m．练习：1已知幂函数39*myxmN的图象关于y轴对称，且在0,上的单调递减，求满足22132mmaa的a得取值范围。答案：21m=13a（）2已知函数223()()mmfxxmZ为偶函数，且(3)(5)ff，求m的值，并确定()fx的解析式．分析：函数223()()mmfxxmZ为偶函数，已限定了223mm必为偶数，且mZ，(3)(5)ff，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定()fx的解析式．解：∵()fx是偶函数，∴223mm应为偶数．6又∵(3)(5)ff，即22232335mmmm，整理，得223315mm，∴2230mm，∴312m．又∵mZ，∴0m或1．当m=0时，2233mm为奇数（舍去）；当1m时，2232mm为偶数．故m的值为1，2()fxx．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．3已知函数223nnyx()nZ的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y轴无公共点，故2230nn≤，又图象关于y轴对称，则223nn为偶数，由2230nn≤，得13n≤≤，又因为nZ，所以0123n，，，．当0n时，2233nn不是偶数；当1n时，2234nn为偶数；当1n时，2230nn为偶数；当2n时，2233nn不是偶数；当3n时，2230nn为偶数；所以n为1，1或3．此时，幂函数的解析为0(0)yxx或4yx，其图象如图１所示【同步练习】1.下列命题中正确的是（）A.当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=xn的图象关于原点对称，则y=xn在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限72.下列函数中不是幂函数的是（）答案：ＣＡ．yxＢ．3yxＣ．2yxＤ．1yx3.下列函数在,0上为减函数的是（）答案：ＢＡ．13yxＢ．2yxＣ．3yxＤ．2yx4.下列幂函数中定义域为0xx的是（）答案：ＤＡ．23yxＢ．32yxＣ．23yxＤ．32yx5．函数y＝（x2－2x）21－的定义域是（）A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案：B6．函数y＝（1－x2）21的值域是（）A．［0，＋∞］B．（0，1）C．（0，1）D．［0，1］解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝t．∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．答案：D7．函数y＝52x的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞）解析：函数y＝52x是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B．8．若a21＜a21－，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞0C．1＞a＞0D．1≥a≥0解析：运用指数函数的性质，选C．9.下列函数中，在其定义域内值域为,0的函数是（）A、2xyB、xy12C、)2lg(2xxyD、11xy10．函数y＝32)215(xx－＋的定义域是。8解析：由（15＋2x－x2）3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5．答案：A11.讨论函数32xy的定义域，奇偶性，画出草图，并根据图象指出函数的12.已知函数1mm22x)m2m()x(f，m为何值时，)x(f是（1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数13已知函数223()()mmfxxmZ为偶函数，且(3)(5)ff，求m的值，并确定()fx的解析式．分析：函数223()()mmfxxmZ为偶函数，已限定了223mm必为偶数，且mZ，(3)(5)ff，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定()fx的解析式．解：∵()fx是偶函数，∴223mm应为偶数．又∵(3)(5)ff，即22232335mmmm，整理，得223315mm，∴2230mm，∴312m．又∵mZ，∴0m或1．当m=0时，2233mm为奇数（舍去）；当1m时，2232mm为偶数．故m的值为1，2()fxx．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．