函数极限与连续自测题

1第一章函数、极限与连续自测题自测题（A）（一）填空题1、函数2()25ln(6)fxxx的定义域为；2、若()fx的定义域为[0,1]，则函数1()()2xxfef的定义域为；3、设函数()2sin1,()xfxxgxkx。当0x时，()fx与()gx为等价无穷小，则常数_____________k；4、设函数221()21axxxfxaxbx，若1lim()0xfx且1lim()xfx存在，则常数____________,_____________ab；5、2220tansinlim_____________xxxx；6、2lim(1)_________________xxxx；7、223lim()_________________21nnnn；8、当常数________a时，函数21sin0()0xxfxxaxx在(,)内连续。（二）选择题1、若2()21xfxx，则当0x时，有（）A)()fx与x为等价无穷小。B)()fx与x同阶但非等价无穷小.C)()fx是x高阶的无穷小.D)()fx是比x低阶的无穷小.2、下述论断正确的是（）A）若数列{}nx适合：121nnxx，则必有lim1nnxB）若数列有界，则limnnx必存在。C）若数列{}nx单调增加，则limnnx必存在。2B）若数列{}nx单调且有界，则limnnx必存在。3、函数2()cosln(2)fxxxx的定义域为（）A）,22B)(0,2)C)3(0,][,2)22D)(0,]24、1lim[(21)2]xxxex的值为（）A）1B)1C)0D)极限不存在。（三）极限计算1、22123lim23xxxxx2、132lim(1)xxx3、2135lim()11xxxx4、22221111lim()123nnnnnnn5、2(21)(32)limsin1xxxxxx6、sin3limxxx（四）设函数21cos[1,0)(0,1]()0xxfxxax在0x处连续，求常数a。（五）设()ln1axxefxxxexe，若lim()xefx存在，求常数a。（六）指出函数232()1xxfxx的间断点，并指出其所属类型。（七）设函数111()1xxefxe，求0lim()xfx与0lim()xfx，并问0lim()xfx是否存在？3（八）验证方程31xx在(0,1)内有唯一的实根。自测题（B）（一）选择题1、24lim()2nnnnnA）；B）0；C）2；D）3；2、660721lim()23xxxxxA）72；B）0；C）13；D）13；3、22,0()101,1xxxfxexxx，则0lim()()xfxA）0；B）不存在；C）2；D）1；4、若22limarctan2kxxx，则()kA）2；B)0；C）12；D）1；5、函数1,0(),02sin(24),22xexfxxxxxx的连续区间为（）A）(,2)(2,)；B）(,)；C）(,0)(0,)；D）(,0)(0,2)(2,)；（二）填空题1、当x时，无穷小量1kx与3211xx等价，则____________k；2、设21,0()1,0xexfxaxx在0x点连续，则__________a；3、设()fx的定义域为[1,3]，则(1)(1)fxfx的定义域为_____________；44、设211(1)1fxx，则()__________fx；5、2201sin2lim(sin)_______________xxxxx。（三）计算题1、22039limsinxxx2、1lim(1)nnne3、210lim(cos)xxx4、1123lim23nnnnn5、221sinlim31xxxx6、3101tanlim()1sinxxxx（四）设()px是多项式，且320()()lim2,lim1xxpxxpxxx，求()px。（五）设函数2,1cos()0,11,11xxfxxxxx，问在11,,1,22xxxx处()fx是否连续？如果间断，指出间断点类型。（六）设()fx在闭区间[,]ab上连续，且无零点，又知有一点(,)ab，使()0f，证明()fx在[,]ab上恒为负。（七）设()fx在[0,2]a上连续，(0)(2)ffa，证明：至少有一点[0,]a，使得：()()ffa。（其中0a）。5自测题（A）答案（一）填空题：1、(,5][5,6)；2、[1,0]；3、1ln2；4、1,4ab；5、2；6、12；7、e；8、0。（二）选择题：1、B；2、B；3、C；4、B。（三）极限计算：1、54；2、6e；3、1；4、1；5、6；6、3。（四）由题意：01(0)lim()4xaffx；（五）lim()limxexefxaxae；ln11lim()limxexexfxxee，于是2ae。（六）1x可去间断点；1x第二类无穷间断点。（七）不存在；（八）令33()(1)1fxxxxx，由于()fx在[0,1]上连续，(0)(1)10ff，由零点定理方程()0fx在(0,1)内至少有一个实根，另一方面，()fx在(0,1)内为单调递增函数，方程()0fx在(0,1)内有唯一的实根。自测题（B）答案（一）选择题：1、D；2、C；3、C；4、A；5、B。（二）填空题：1、2；2、2；3、[0,2]；4、2()22fxxx，(1)x；5、3。（三）计算题：1、16；2、1；3、12e；4、3；5、33；6、12e。（四）由32()lim2xpxxx，及()px为多项式，可知：32()2,,pxxxaxbabR，于是32()2pxxxaxb，由200()limlim(2)1xxpxbxxaxx，可知1,0ab，所以32()2pxxxx。（五）()fx在1x处连续；12x为第二类间断点；1x第一类可去间断点；2x连续。6（六）反证法：假定存在[,]ab，使()0f。由于()fx在[,]ab上无零点，帮()0f。显然。不失一般性，设，从而[,][,]ab，由于()fx在[,]ab上连续，帮()fx必定在[,]上连续，由于()0,()0ff，由零点定理，方程()0fx在(,)内至少有一个零点，从而()0fx在[,]ab上至少有一个零点，矛盾。（七）证明：讼()()()Fxfxfxa，()Fx在[0,]a上连续，且(0)()((0)())(()(2))FFaffafafa2((0)())((()(0))((0)())ffafafffa；若(0)()0ffa，则结论显然成立；若(0)()0ffa，则(0)()0FFa，由零点定理，在(0,)a内至少有一个，使()0F，即()()ffa。