二面角习题及答案-(1)

二面角1.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=32，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。解2.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。解：3.如图：ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。解：4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=0120，求二面角A-BD-C的余弦值。解：DPCABERNMOBDPACDBAECDEBASC5.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A—EB—D的平面角大小.解析：6如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a.(1)求证：AF⊥A1C(2)求二面角C—AF—B的大小7．如图1111DCBAABCD是长方体，AB=2，11ADAA，求二平面CAB1与1111DCBA所成二面角的正切值．8.在正方体1111DCBAABCD中，1BBK，1CCM，且141BBBK，143CCCM求：平面AKM与ABCD所成角的正切值．9.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角CADC．（1）若二面角CADC是直二面角，求CC的长；（2）求CA与平面CDC所成的角；（3）若二面角CADC的平面角为120°，求二面角DCCA的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D是BC的中点∴CD=BD=2又△ADC是正三角形∴AD=CD=BD=2∴D是△ABC的外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB(三垂线定理)∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求∠PAC=30°2、解：∵BS=BC，又DE垂直平分SC∴BE⊥SC，SC⊥面BDE∴BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴BDCD,SA⊥BD，BD⊥面SAC∴BD⊥DE且BD⊥DC则∠EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a，则BC=SB=2a且AC=3a易证△SAC∽△DEC∴∠CDE=∠SAC=60°3、解：取OC之中点N，则MN∥PO∵PO⊥面ABCD∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，过N作NR⊥BD于R，连MR，则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE⊥BD于E则RN=21CE,在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE∴58BDBCCDCEDPCABERNMOBDPACDEBASC∴54RN25RNMNMRNtan∴25arctanMRN4.解：过A作AE⊥CB的延长线于E，连结DE，∵面ABC⊥面BCD,∴AE⊥面BCD∴E点即为点A在面BCD内的射影∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=a23∴AD=41cos,a26ABD，∴sin∠ABD=415∴22ABDa815415a21S又a21BE∴2BDEa83a21a2321S∴55SScosABDBDE5、解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.(2)EO∥PC，PC平面PBC，∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OF⊥BC于F，∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.由条件可知，OB＝2a,OF＝2a×23＝43a，则点E到平面PBC的距离为43a.(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG∵OE⊥AC，BD⊥AC∴AC⊥平面BDE∴AG⊥EB(三垂线定理)∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角∵OE＝21PC＝21a,OB＝21a∴EB＝22a.∴OG＝EBOBOE＝42a又AO＝23a.∴tan∠AGO＝OGAO＝6∴∠AGO＝arctan6.评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.6、分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解(1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB又∵ABC—A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB连结EF，由于AB＝2AA1∴AA1FE为正方形∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a∴CE＝2a,OE＝22a,∴tan∠COE＝aa222＝2.∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.7、解析：∵平面ABCD∥平面1111DCBA，∴平面CAB1与平面1111DCBA的交线l为过点1B且平行于AC的直线．直线l就是二平面CAB1与1111DCBA所成二面角的棱．又1AA⊥平面1111DCBA，过1A作AH⊥l于H，连结AH．则1AHA为二面角1AlA的平面角．可求得25tan1AHA．8.9、解析：（1）若90DCC，∵AC=a，∴aCDDC21，∴aCC22．（2）∵CDAD，AD⊥DC，∴AD⊥平面CCD．∴DCA为CA与平面CCD所成的角，在Rt△CAD中，ACDCCD21，∴30CDA，于是60DCA．（3）取CC的中点E，连结AE、DE，∵DCCD，ACCA，∴CCAE，CCDE，∴∠AED为二面角DCCA的平面角，∵120DCC，aCDDC21，∴aDE41，在Rt△AED中，aAD23，∴．324123tanaaDEADAED