概率论与数理统计公式集锦(2011.6.7)

概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式BABA，BABA古典概型()mAPAn包含的基本事件数基本事件总数几何概型()()()APA，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）求逆公式)(1)(APAP加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A∪B)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，BA时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式)()()(APABPABP乘法公式)()()(ABPAPABP)()()(BAPBPABP全概率公式niiiABPAPBP1)()()(贝叶斯公式（逆概率公式）1)()()()()(iijjjjABPAPABPAPBAP两件事件相互独立)()()(BPAPABP；)()(BPABP；)()(ABPABP；二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(xXPxF)()()(aFbFbXaP2、离散型随机变量分布名称分布律0–1分布),1(pB1,0,)1()(1kppkXPkk二项分布),(pnBnkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(泊松分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk3、续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布(,)Uab其他,0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF,1,,0)(分布名称密度函数分布函数指数分布)(E0,00,)(xxexfx0,00,1)(xxexFx正态分布2(,)Nxexfx222)(21)(xttexFd21)(222)(标准正态分布)1,0(Nxexx2221)(2121()2txxedt三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布jjijjiiipyYxXPxXPp),()(iiijjijjpyYxXPyYPp),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(iPpyYPyYxXPyYxXPpjijjjijiji2,1,)(),()(jPpxXPyYxXPxXyYPpiijijiijij3、连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数xydudvvufyxF),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：xXdvduvufxF),()(密度函数：dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(5、二维随机变量的条件分布yxfyxfxyfXXY,)(),()(xyfyxfyxfYYX,)(),()(6、X、Y相互独立(,)()()(,)()()XYXYFxyFxFyfxyfxfy四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型：1)(kkkpxXE，连续型：dxxxfXE)()(2、数学期望的性质(1)为常数C,)(CCE)()]([XEXEE)()(XCECXE(2))()()(YEXEYXEbXaEbaXE)()((3)若X、Y相互独立则：)()()(YEXEXYE3、方差：)()(]))([()(222XEXEXEXEXD4、方差的性质(1)0)(CD0)]([XDD)()(2XDabaXD(2)),(2)()()(YXCovYDXDYXD(3)若X、Y相互独立则：)()()(YDXDYXD5、协方差：(,)()()()CovXYEXYEXEY，X、Y相互独立时：0),(YXCov6、相关系数：(,)()()XYCovXYDXDY，X、Y相互独立时：0XY(X,Y不相关)7、协方差和相关系数的性质(1))(),(XDXXCov),(),(XYCovYXCov(2)),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov),(),(YXabCovdbYcaXCov8、常见随机变量分布的期望和方差分布数学期望方差0-1分布),1(pbpp(1-p)二项分布),(pnbnpnp(1-p)泊松分布)(P均匀分布),(baU2ba12)(2ab正态分布),(2N指数分布)(e121五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2XDXE对于任意0有2)(})({XDXEXP或2)(1})({XDXEXP2、大数定律：若nXX1相互独立，2)(,)(iiiiXDXE且Ci2则：niiPniinXEnXn11)(),(11（切比雪夫）若nXX1相互独立同分布，且)(iXE，则：nPniiXn11（辛钦）3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为02的独立同分布时，2当n充分大时有：)1,0(~1NnnXYnkkn(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~pnBX则对任意x有：xtxxdtexpnpnpXP)(21})1({lim22(3)近似计算：)()()()(11nnannbnnbnnXnnaPbXaPnkknkk六、数理统计的基本概念1、总体和样本总体X的分布函数)(xF样本),(21nXXX的联合分布为)(),(121knknxFxxxF2、统计量(1)样本均值：niiXnX11(2)样本方差：niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11(3)样本标准差：niiXXnS12)(11(4)样本k阶距：2,1,11kXnAnikik(5)样本k阶中心距：nikikkkXXnMB13,2,)(13、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量nXXX21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N，则随机变量222212nXXX所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为)(~22n性质：①nnDnnE2)]([,)]([22②设)(~),(~22nYmX且相互独立，则)(~2nmYX(2)t分布：设随机变量)(~),1,0(~2nYNX，且X与Y独立，则随机变量：nYXT所服从的分布称为自由度的n的t分布，记为)(~ntT性质：①)2(,2)]([,0)]([nnnntDntE②222)(21)1,0()(limxneNnt(3)F分布：设随机变量)(~),(~2212nVnU，且U与V独立，则随机变量2121),(nVnUnnF所服从的分布称为自由度),(21nn的F分布，记为),(~21nnFF，性质：设12~(,)XFnn，则211~(,)FnnX七、参数估计1.参数估计(1)定义：用),,(21nXXX估计总体参数，称),,(21nXXX为的估计量，相应的12(,,,)nxxx为总体的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）样本均值：niiXnXEX11)(或dxxxfXEX),()(求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数12,,,k，它的前k阶原点矩()(1,2,,)iiEXik中包含了未知参数12,,,k，即12(,,,)(1,2,,)iikgik。又设nxxx,,,21为总体X的n个样本值，用样本矩11(1,2,,)niijjAXikn代替i，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数12,,,k的矩估计量12,,,k3.点估计中的极大似然估计极大似然估计法：nXXX,,21取自X的样本，设),(~xfX或~(,)XPx，求法步骤：①似然函数：])([),()(11niiniiPxfL或②取对数：1ln()ln(,)niiLfx或1ln()ln()niiLp③解方程：0ln,,0ln1kLL，解得：111212(,,,)(,,,)nkknxxxxxx4.估计量的评价标准估计量的评价标准无偏性设),,,(21nxxx为未知参数的估计量。若E(）=，则称为的无偏估计量。有效性设),,,,(2111nxxx和),,,,(2122nxxx是未知参数的两个无偏估计量。若)()(21DD，则称21比有效。一致性设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有,0)|(|limnnP则称n为的一致估计量（或相合估计量）。5.单正态总体参数的置信区间八、假设检验1.假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。这里所说的小概率事件就是事件}{RK，其概率就是显著性水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。基本步骤1.提出原假设H0；2.选择统计量K；3.对于α查表找分位数λ；4.由样本值nxxx,,,21计算统计量之值K；将与K进行比较，作出判断：当)(||KK或时拒绝H0，否则认为接受H0。两类错误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：P{拒绝H0|H0为真}=；第二类错误当H1为真时，而样本值却落入了接受域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：P{接受H0|H1为真}=。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。2.单正态总体均值和方差的假设检验条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1的置信区间已知2/xZn(0,1)N22,xzxznn未知2/xTSn(1)tn22(1),(1)SSxtnxtnnn已知2221niiX2()n221122122()(),()()nniiiiXXnn未知2222(1)nS2(1)n2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn条件原假设检验统计量统计量分布拒绝域已知200:H0/xZn(0,1)N2||zz00:Hzz00:Hzz未知200:HnSxT/0)1(nt2(1)ttn00:H(1)ttn00:H(1)ttn未知220:H2220(1)nS2(1)n2212(1)n或222(1)n2020:H22(1)n2020:H221(1)n已知（少见）220:H22120()niiX2()n2212()n或222()n2020:H22(