责难中追求严谨着名的贝克莱悖论数学与数学教育

第一讲数学理性精神的追求——真理主讲教师：孙淑娥目录目录一、“宗教信仰”中的理性哲学二、“责难”中追求严谨三、“怪”中求真三、数学与数学教育第一次危机发生在公元前5世纪。毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。一、“宗教信仰”中的理性哲学第一次数学危机2三、数学与数学教育（1）数学证明的起始泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得证明是要有假设的:公设、公理及定义。（2）数学抽象的提出从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。（3）毕达哥拉斯定理勾股定理一、“宗教信仰”中的理性哲学毕达哥拉斯学派贡献2西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。曾经有人编书，收集了勾股定理的370种证法。三、数学与数学教育①数，是世界的法则毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数。②任意两条线段a、d都是可公度的“可公度的”，意即有公共的度量单位t。一、“宗教信仰”中的理性哲学“万物皆数”学说2nmadtamtdnt三、数学与数学教育对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的符号，这就是。然而，毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”是自己。该学派的成员希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解，使当时希腊数学家们深感不安。问题：（1）一个不能表成整数比的数（2）不可公度的线段一、“宗教信仰”中的理性哲学的发现22危机产生，封锁消息希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的希帕索斯(Hippasus)三、数学与数学教育（1）一些不能表成整数比的数，称为无理数。没有道理的数，原来是翻译出了问题。“比的”两个整数之比为有理数。（2）两个量的比相等，即。约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔给出的两个量的比相等的定义，也被欧几里得在《几何原本》中采用。然而，彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义。一、“宗教信仰”中的理性哲学危机的基本消除acbd（1）有理数的稠密性定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（a,b）中都存在着这个数集中的点。定理：有理数集在数轴上是稠密的。（2）数轴①古代观点：数轴↔有理数②现代观点：数轴↔实数（3）数系的扩张①自然数系②有理数系③实数系210数系的扩张——危机的解决[思]：能说“任何两个有理数之间都有无理数”吗？为什么？三、数学与数学教育第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部产生的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教的发难引发的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。最后在柯西创立的极限理论和魏尔斯特拉斯给出了极限定义后，危机基本得到消除。二、“责难”中追求严谨危机的引发和消除三、数学与数学教育微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在推出上式时，假定了才能做除法，所以上式的成立是以为前提的。那么，为什么又可以让而求得瞬时速度呢？（荒谬）二、“责难”中追求严谨危机的引发22101022200011()()2211[()][2()]22SStStgtgtgtttgttt01()2Sgtgtt0t0t0t三、数学与数学教育贝克莱还讽刺挖苦说：既然和都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。——“贝克莱悖论”对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，贝克莱的质问是击中要害的.因为“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。二、“责难”中追求严谨著名的贝克莱悖论St三、数学与数学教育数学家们相信这一方法，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。牛顿虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。二、“责难”中追求严谨著名的贝克莱悖论三、数学与数学教育德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。二、“责难”中追求严谨第二次数学危机实质三、数学与数学教育然而，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。到19世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。比如，达朗贝尔、19世纪初捷克数学家波尔查诺等人某些有意义的工作。二、“责难”中追求严谨危机的消除三、数学与数学教育对此做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。他在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。二、“责难”中追求严谨危机的消除三、数学与数学教育极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。其中，德国数学家魏尔斯特拉斯(1815～1897)的“点点连续而点点不可导的函数”，和黎曼（B.Riemann，1826—1866）被积函数不连续，其定积分也可能存在等问题的研究，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。因此，数学家们越来越明白，要为分析建立一个完善的基础，需要理解和阐明实数系的更深刻的性质。魏尔斯特拉斯的成功产生了深远的影响。一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的“”语言。二、“责难”中追求严谨实数系理论建立三、数学与数学教育魏尔斯特拉斯的成功产生了深远的影响。一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的“”语言。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是：实数理论—极限理论—微积分。而“历史顺序”则正好相反。知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的.二、“责难”中追求严谨微积分的基础三、数学与数学教育到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。三、“怪”中求真危机的消除三、数学与数学教育尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！”人们按逻辑顺序把全部数学的基础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数集合加上0——现在我国中小学就把这一集合称为自然数集合。三、“怪”中求真第三次数学危机三、数学与数学教育因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，全部数学都可以归结为算术了。这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个“数学基础”的问题。法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格（G.Frege,1848—1925）就做了这样的工作。他写了一本名叫《算术基础》的书。三、“怪”中求真第三次数学危机三、数学与数学教育弗雷格从空集出发，而仅仅用到集合及集合等价的概念，把全部非负整数定义出来了。于是根据上边说的“可以把全部数学归结为非负整数”，就可以说，全部数学可以建立在集合论的基础上了。三、“怪”中求真危机的消除弗雷格《算术基础》三、数学与数学教育正当弗雷格即将出版他的《算术基础》一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。罗素悖论引发的危机，称为第三次数学危机。罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的《算术基础》一书的末尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。三、“怪”中求真危机的产生三、数学与数学教育正当弗雷格即将出版他的《算术基础》一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。罗素悖论引发的危机，称为第三次数学危机。罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的《算术基础》一书的末尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。三、“怪”中求真危机的消除伯特兰·罗素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)出生年月：1872-1970国籍：英国学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素三、数学与数学教育罗素悖论是：以表示“是其本身成员的所有集合的集合”（所有异常集合的集合），而以表示“不是它本身成员的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于，或者属于，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合是否是它本身的成员？（集合是否是异常集合？）一个集合或者是它本身的成员(元素),或者不是它本身的成员(元素)，两者必居其一。罗素把前者称为“异常集合”，把后者称为“正常集合”。三、“怪”中求真MMNNNN如果是它本身的成员，则按及的定义，是的成员，而不是的成员，即不是它本身的成员，这与假设矛盾。即如果不是它本身的成员，则按及的定义，是的成员，而不是的成员，即是它本身的成员，这又与假设矛盾。即悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。NMNNMNNNNNMNNNMNNNMN()NNNNNM三、数学与数学教育罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。三、“怪”中求真三、数学与数学教育当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路。这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。三、“怪”中求真三、数学与数学教育罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。三、“怪”中求真三、数学与数学教育为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。三、“怪”中求真三、数学与数学教育1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消