还原问题知识讲解及练习

还原问题知识讲解及练习（含答案）已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题。还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推。在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反。板块一、单个变量的还原问题【例1】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？【解析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减去2，此数是：10212如果没除以2，此数是：12224如果没乘以3，此数是：2438如果没加上3，此数是：835综合算式1022335【巩固】1、(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是。【巩固】2、一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗?【巩固】3、少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?【例2】牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?【解析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：38830；没除以2时应是：30260；没减去16时应是：601676；没乘以2时应是：76238，即[388216]238（）(岁).【巩固】1、小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4.请你算一算，我今年几岁？”【巩固】2、学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．1010100，10010110，1101011，11101解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．综合算式为：【巩固】3、学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？【解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．16÷×64-5+3某数综合算式为：【例3】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？【解析】从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100250(分)，加上10后是50分，没有加上10前应是501040(分)，缩小2倍是40分，那么没有缩小2倍前应是40280(分)，减去6后是80分，没有减去6前应是80686(分)．综合列式为：(100210)26402686(分)【巩固】1、在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?【巩固】2、学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？【例4】哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？【解析】被减数十位上的6变成9，使被减数增加906030，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了963，这样又使差增加了3，这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577，求正确差．所以列式得：577969060544（）（）．【巩固】1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？【巩固】2、淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?.【巩固】3、小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？【例5】三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了这堆桃的一半少1个；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1个；小猴子分得余下的8个桃，桃子就被全分完了。问，这堆桃子共多少个？【分析与解】此题条件较复杂，我们可以通过画图进行分析，你能从图中发现哪个部分是大猴子拿的桃子吗？其实解决这类问题我们关键是要找到“一半”所对应的数量，从最后进行推算。剩下的一半：8＋1=9（个）；剩下多少个：9×2=18（个）一半是多少个：18－1=17（个）；一共有多少个桃子：17×2=34（个）算式：［（8+1）×2－1］×2【巩固】1、学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？【解析】根据题意，画图倒推分析：15924(米)2410228（）(米)282260（）(米)综合算式：说明：多拿、多吃、多做、多用….在还原问题算式中表现为“+”；少拿、少吃、少做、少用……在还原问题算式中表现为“-”。【巩固】2、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？【解析】可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：【巩固】3、甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，问：这批零件有多少个？【解析】如右图所示，按照图与题目的条件，列综合算式：【例6】货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？第二次运进450吨现有煤的一半第一次用去原有煤的一半图41倍第三次运出的原有煤？吨1200吨2倍50吨剩下的一半图3零件的一半10个10个？25个余下的一半第一次用去的3米图210米第二次用去的全长的一半7米第三次用去的15米全长？米结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。（1）剩余煤的吨数是：12002600（吨）（2）现有煤的一半是：60050650（吨）（3）现有煤的吨数是：65021300（吨）（4）原有煤的一半是：1300450850（吨）（5）原有煤的吨数是：85021700（吨）算式：［（600+50）×2-450］×2【巩固】1、食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下122千克．这批大米共有多少千克？【巩固】2、山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【巩固】3、修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？【解析】如下图，从图中可知30181236是第一周修后余下的一半，3621284米是下水道全长的一半．【例7】小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是415（元），第二次剩下5210（元），第一次剩下10220（元），原来有20424（元）。列综合算式：41224244元第一次剩下的一半？第二次剩下的一半1元4元【巩固】1、有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？【例8】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长米。【分析】如图1所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为：143020262108（米）。图114第三天30206第二天余下的一半第一天全长的一半【巩固】1、一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，还剩下1千米，问：公园马路全长多少千米？【解析】如图，【例9】思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？【解析】根据题意，画出线段图，倒推分析．8216(米)16232(米)算式：8×2×2剩下的一半全长的一半？1千米甲取出的余下的一半一半再余下的一半乙取出的1个1个1个1个丙取出的【巩固】1、一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?【解析】采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是431231(克)；这样，第一天运出后剩下的重31262(克).那么同理，一半的重量是621250(克)，原有食物502100(克).即【巩固】2、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？【巩固】3、修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？【解析】如下图，从图中可知30181236是第一周修后余下的一半，3621284米是下水道全长的一半．【例10】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃？【解析】第三群猴没吃，相应有桃(1000.5)2201(个)第二群猴没吃，相应有桃(2010.5)2403(个)第一群猴没吃，相应有桃(即桃园中原有桃)(4030.5)2807(个)算式：｛［（100+0.5）×2+0.5］×2+0.5｝×2【巩固】1、山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃