二次函数与一次函数结合问题

二次函数与一次函数相结合的专题一、知识点1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）①一般式法：设二次函数为)0(2acbxaxy利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们二次函数经过几个点的坐标，到底需要几个点的坐标就能求出解析式呢？就看cba,,不知道几个，3个系数都不知道就需要3个点的坐标，2个系数不知道就需要2个点的坐标，1个系数都不知道就需要1个点的坐标。把坐标带入函数，然后求解方程组得到系数，就可以得到解析式；例：已知二次函数),,(2均为常数cbacbxaxy的图象经过三点A（2,0），B（0，-6），C（1，-2），求这个二次函数的解析式；解：把A（2,0），B（0，-6），C（1，-2）代入cbxaxy2，得65126024cbacbaccba所以二次函数的解析式为：652xxy②顶点式法：设二次函数为)0()(2akhxay利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们一个条件就是对称轴和顶点坐标，因为在所设的函数中，对称轴就是x=h，所以顶点坐标是（h,k）。只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了h和k两个未知数（a,h,k）的值，需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a，即求出了解析式；例：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数经过点A（），求这个二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数为5)1(2xay，又因为函数经过点A（0,7），把A（0,7）代入函数得2,75)10(2aa所以二次函数的解析式为：742,5)1(222xxyxy即③交点式法：设二次函数为)0)()((21axxxxay利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们某二次函数与x轴的两个交点的坐标，所以只需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a，即求出了解析式；例、已知某二次函数的图象与x轴相交于两点A（3,0）和B（5,0），且该二次函数经过点C（6,6），求该二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数的解析式为)5)(3(xxay又因为二次函数经过点C（6,6），将点C代入函数得2,6)56()36(aa所以该二次函数的解析式为)5)(3(2xxy，即301622xxy当然：二次函数的解析式还有可能是：2axy，kaxy2，2)(hxay，其实也可以由上面的解析式得到，只是所给的已知条件不同，根据不同的已知条件而设相对应的解析式。比如2axy就是已知对称轴是y轴，经过原点得到的，而a只是决定了开口的上下和大小；再如kaxy2就是已知对称轴是y轴，且函数经过点（0，k）的意思，可以由2axy经过上下平移得到；又如2)(hxay就是已知对称轴为x=h，且顶点在x轴上，即函数与x只有一个交点的意思，可以由2axy左右平移得到。2、一次函数的求解：①正比例函数：设)0(kkxy；该函数经过原点，那么再需要知道函数上的另一个点的坐标即可得到该一次函数；例、已知某正比例函数经过点A（2,4），求该一次函数的解析式；解：设正比例函数为kxy，把A（2，4）代入，得k=2，所以该正比例函数为xy2；②一次函数：设)0(kbkxy；只要知道该直线上的两个点，代入求得系数k，b即可。例、已知一次函数的图象过点（3,5）和（-4，-9），求这个一次函数；解：设该一次函数为bkxy，把（3,5）和（-4，-9）代入，得129453bkbkbk所以该一次函数的解析式为12xy；D3、二次函数与一次函数的综合考点①同一直角坐标系内二次函数与一次函数图象的可能情况判断；这类问题一般是给出二次函数和一次函数的解析式，式子含有相同的字母符号，然后判断各自图象的可能性；例、在同一坐标系中，一次函数axyaxy23与二次函数的图象可能是（）②二次函数与一次函数的交点问题；这类问题一般是给出（或求出）二次函数和一次函数的解析式，然后求交点坐标；既然是交点，则交点即在二次函数上，也在一次函数上。抛物线与直线的交点可能是一个交点，也可能是两个交点。例、求二次函数32xy与一次函数5xy的交点坐标；解：由于二次函数和一次函数的交点的纵坐标是相等的，即532xx，解得2,121xx当11x时，41y；当22x时，72y所以交点坐标分别为（-1,4）和（2,7）③二次函数与一次函数的交点与定点围成的三角形面积问题；这类问题主要是确定三角形的底和高，利用三角形面积公式求出面积S；求三角形面积的常见方法有：直接公式法、分割法（分成两个三角形的面积和）等；例、如图所示，二次函数322xxy与一次函数32xy相交于两点A、B，二次函数的顶点为C，求三角形ABC的面积；解：函数交于两点A、B362,362,6,6,323221212yyxxxxx得由A、B两点的坐标分别为)362,6(),362,6(BA由4)1(3222xxxy，得C点坐标为C（1,4）过C点作直线x=1，交于AB直线与点D，由一次函数得D点坐标为D（1,1），所以DC=5CDyy6562521)(21ABABCxxDCS补充说明：①两点坐标分别为M（x1,y1），N（x2,y2）,则两点间长度的表达与计算：A：若MN两点的横坐标相同，则)(1212yyyyMN；B：若MN两点的纵坐标相同，则)(1212xxxxMN；C：若MN两点的横、纵坐标不相同，则212212)()(yyxxMN②求三角形ABC的面积时，若以AB、BC或AC为底边来直接求面积，那么高就比较难确定，所以做直线x=1将三角形ABC分成两个三角形ACD和三角形BCD，然后以CD为底来求三角形ABC的面积就比较好算了。④动点问题动点问题是初中的一个难点，也是中考喜欢出的一个考点，这里针对这个问题做个简单的总结，那么动点问题怎么考，会有哪些常见的情况呢？Ⅰ、动点在直线上：a、x轴上、、y轴上或者二次函数的对称轴上；b、一次函数所在直线上；Ⅱ、动点在抛物线上；动点的移到会导致线段长度的变化，所以会导致几何图形的变化，图形面积的变化；所以，这类问题常常会考动点到定点的距离的最值问题；动点和定点围成什么样的三角形问题，比如：动点P在什么位置能与定点AB围成等腰三角形，直角三角形等等；围成的图形面积最值问题；例、如图所示，已知抛物线与x轴相交两点的坐标分别（-1,0）和（5,0），且抛物线经过点C（0,5），抛物线的顶点为D，直线AB的函数关系式为bxy21与抛物线的对称轴相交于点E（4,2）；试求：①求抛物线和直线AB的解析式；②求抛物线与直线AB相交的两点A、B的坐标；③若抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PC的最小值；④若抛物线在AB段内有一动点P，求出PAB的面积最大时P点的坐标；解：①由题意，设抛物线解析式为)5)(1(xxay，且经过点C（0,5）15)50()10(aa，得由；54)5)(1(2xxxxy抛物线的解析式为因为直线AB经过点E（4,2），所以由34221bb，得321xyAB的解析式为直线；②4,21:,32154212xxxxx解得由将5,411,3212121yyxyxx得代入和所以A和B的坐标分别为)5,4()411,21(BA、；③9)2(5422xxxy抛物线)9,2(,2DDx的坐标为顶点抛物线的对称轴为作点C关于对称轴的对称点F，则F点的坐标为F（4，5），即B点；动点P在对称轴上，由对称性得PC=PBPBPAPCPA459)()(22ABAByyxxABABPBPA的长度的最小值为两点间直线距离最小459的最小值为PCPA；④设点P的坐标为)54,(2xxx，过点P作直线平行于y轴，且交于直线AB于点G，则G的坐标为)321,(xx2273215422xxxxxPG29ABxxAB两点的水平距离为64729)47(49)227(49292122xxxPGSPAB当的面积最大此时三角形时，PAByx,1614347)16143,47(PPPAB点的坐标为的面积最大时，当二、课后作业1、如图，一次函数baxy与二次函数cbxaxy2的大致图像是（）2、已知二次函数cbxxy2经过两点的坐标分别为（0,2）和（3,5），已知一次函数mxy经过点（-2，-4），二次函数和一次函数的图象相交于两点A、B，二次函数的顶点为C，试求：①求二次函数和一次函数的解析式；②求A、B两点的坐标；③求三角形ABC的面积ABCS；3、如图，抛物线cxxy31312与x轴交于A、B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC、BC、点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q。①求A，C两点的坐标；②求PQ取得最大值时P点的坐标；③是否存在一点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；