函数的奇偶性课件

1.3.2函数的奇偶性1.3.2│三维目标三维目标1．知识与技能理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性．2．过程与方法通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．1.3.2│三维目标3．情感、态度与价值观通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力，培养学生善于探索的思维品质．1.3.2│重点难点重点难点[重点]函数的奇偶性及其几何意义．[难点]函数奇偶性的判断．1.3.2│教学建议教学建议对于函数奇偶性的概念的教学，(1)建议在引出概念时，先要复习轴对称与中心对称图形，挖掘出两个引例图像中的对称点坐标之间的关系，再得出定义．(2)要着重强调概念中的“任意”二字，因为所取x为定义域中的任意数，又－x也在其定义域内，所以奇、偶函数的定义域关于坐标原点对称，这是判断函数是奇函数或偶函数的前提条件．1.3.2│教学建议对于奇函数与偶函数图像的对称性的教学，建议在讲解这一知识点时，只要让学生观察图像得出结论即可，不必证明．否则将增加教学上的难度．有兴趣且有余力的同学可以利用平面几何中有关对称点坐标间的知识进行推证．对关于函数奇偶性与单调性综合问题的教学，建议先用奇偶性将问题转化为比较两个函数值的大小，再利用单调性转化为比较自变量大小的问题，使抽象不等式转化为具体不等式求解．1.3.2│新课导入新课导入[导入一]“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映．观察下列函数的图像，总结各函数之间的共性．图1­3­这四个函数中，前两个的图像关于y轴对称，后两个的图像关于原点对称，这样的函数的定义域有什么特点？－x与x对应的函数值有什么关系？1.3.2│新课导入[导入二]复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义，同桌两人分别画出函数f(x)＝x3与g(x)＝x2的图像，讨论它们图像的特点．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)1.3.2│预习探究预习探究知识点一函数奇偶性的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________________________，那么函数f(x)就叫作偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_________________________，那么函数y＝f(x)就叫作奇函数．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有____________．奇偶性1.3.2│预习探究[思考](1)为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称？(2)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)一定是偶函数吗？1.3.2│预习探究解：(1)由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对称．(2)不一定，仅有f(－2)＝f(2)，不足以确定函数的奇偶性，不满足定义中的“任意”，故不一定是偶函数．1.3.2│预习探究知识点二奇偶函数的图像与性质1．奇函数的图像关于________对称．反过来，若一个函数的图像关于________对称，那么这个函数是________．偶函数的图像关于________对称．反过来，若一个函数的图像关于________对称，那么这个函数是偶函数．原点原点奇函数y轴y轴1.3.2│预习探究2．重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](ba0)上有相同的单调性．(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](ba0)上有相反的单调性．1.3.2│备课素材备课素材1．函数的奇偶性与单调性的区别奇偶性反映了函数在定义域上的对称性，是相对于函数的整个定义域来说的，单调性反映了函数在某一区间上的函数值的变化趋势，此区间是定义域的子区间，因此，单调性是函数的“局部”性质，奇偶性是函数的“整体”性质．2．奇、偶函数定义中f(x)与f(－x)的关系(1)偶函数：f(－x)＝f(x)⇔f(x)－f(－x)＝0；(2)奇函数：f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0.1.3.2│备课素材3．根据奇偶性将函数分类函数分类标准奇偶性奇函数偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数4．奇、偶函数图像对称性与点对称的关系若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x)图像上任一点M(x，f(x))关于原点的对称点M′(－x，－f(x))也在y＝f(x)的图像上；若函数y＝f(x)是偶函数，则函数y＝f(x)图像上任一点M(x，f(x))关于y轴的对称点M′(－x，f(x))也在y＝f(x)的图像上．考点类析考点一函数奇偶性的判断重点探究型[导入](1)给出一个函数的解析式，你如何判断函数的奇偶性？(2)若给出一个函数的图像，你如何判断函数的奇偶性？1.3.2│考点类析1.3.2│考点类析解：(1)先判断定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否恒成立；也可以作出函数的图像，观察图像是否关于原点对称或关于y轴对称．(2)观察图像是否关于原点对称或关于y轴对称．1.3.2│考点类析例1(1)给出下列函数：①f(x)＝－x2＋1，②f(x)＝x4，x∈[－1，3]，③f(x)＝0，④f(x)＝x5，⑤f(x)＝x，⑥f(x)＝x＋1x.其中，偶函数是________，奇函数是________，非奇非偶函数是________，既是奇函数又是偶函数的是________．①④⑥②⑤③1.3.2│考点类析[解析]①由解析式可知函数的定义域为R，由于f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，所以函数为偶函数．②由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数也不是奇函数．③函数的定义域为R，由于f(－x)＝0＝f(x)，f(－x)＝0＝－f(x)，所以函数既是奇函数又是偶函数．1.3.2│考点类析④对于函数f(x)＝x5，其定义域为R，因为对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x3＝－f(x)．所以函数f(x)＝x5为奇函数．⑤对于函数f(x)＝x，其定义域为{x|x≥0}，因为函数的定义域关于原点不对称，所以函数f(x)＝x既不是奇函数也不是偶函数．⑥函数f(x)＝x＋1x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，因为对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－x＋1－x＝－x＋1x＝－f(x)，所以，函数f(x)＝x＋1x为奇函数．1.3.2│考点类析(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝1－x·1＋x|x＋2|－2；②f(x)＝x＋1，x0，1，x＝0，－x＋1，x0.解：①依题意1－x≥0，1＋x≥0，|x＋2|－2≠0，解得－1≤x≤1且x≠0，所以函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]，所以解析式化简为f(x)＝1－x·1＋xx，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．②函数的定义域为R，当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；当x0时，－x0，则f(－x)＝－x＋1＝f(x)．综上知，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．1.3.2│考点类析【变式】判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－2)2＋x2－x；(2)f(x)＝x＋2，x－1，0，|x|≤1，－x＋2，x1.1.3.2│考点类析1.3.2│考点类析解：(1)由2＋x2－x≥0，得定义域为[－2，2)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．(2)x－1时，f(x)＝x＋2，－x1，所以f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；x1时，f(x)＝－x＋2，－x－1，所以f(－x)＝－x＋2＝f(x)；－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，所以f(－x)＝0＝f(x)．所以对定义域内的每一个x都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．1.3.2│考点类析[小结](1)用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否恒成立．(2)若已知函数的图像，则观察图像是否关于原点或y轴对称，依此判断函数的奇偶性．131.3.2│考点类析考点二利用函数奇偶性求参数的值基础夯实型例2(1)函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝________．(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．(3)函数f(x)＝（x＋1）（x＋a）x为奇函数，则a＝________．00－1[解析](1)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即ax2－2x＝－ax2－2x，由对应项系数相等，得a＝0.(2)因为定义域[a－1，2a]关于原点对称，所以a－1＝－2a，得a＝13.又因为f(－x)＝f(x)，所以13x2－bx＋1＋b＝13x2＋bx＋1＋b.由对应项系数相等，得－b＝b，所以b＝0.(3)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以（－x＋1）（－x＋a）－x＝－（x＋1）（x＋a）x，即2(a＋1)x＝0，x不恒为0，所以a＋1＝0，得a＝－1.1.3.2│考点类析1.3.2│考点类析考点三函数单调性与奇偶性的关系重点探究型[导入](1)观察下列两个偶函数的图像，在y轴两侧的图像的变化趋势有何不同？可得出什么结论？图1­3­5(2)观看下列两个奇函数的图像，在y轴两侧的图像的变化趋势有何不同？可得出什么结论？图1­3­61.3.2│考点类析解：(1)偶函数在y轴两侧的图像的升降方向是相反的，即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)奇函数在y轴两侧的图像的升降方向是相同的，即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同．1.3.2│考点类析例3(1)函数y＝x|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减1.3.2│考点类析[解析]函数y＝x|x|是奇函数，当x0时，y＝x2，在区间(0，＋∞)上单调递增．故选C.[答案]C1.3.2│考点类析(2)已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)0，试求a的取值范围．解：因为f(a－2)＋f(3－2a)0，所以f(a－2)－f(3－2a)，又因为f(x)是奇函数，所以f(a－2)f(2a－3)．又因为f(x)在区间[0，1)上为增函数，所以f(x)在区间(－1，1)上为增函数，所以a－22a－3，－1a－21，－12a－31，即a1，1a3，1a2，所以1a2.1.3.2│考点类析【变式】若偶函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－2)，b＝fπ2，c＝f32的大小关系是()A．bacB．bcaC．acbD．cab1.3.2│考点类析[解析]由f(x)为偶函数得f(－2)＝f(2)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且232π2，所以f(－2)f32fπ2，即acb.[答案]C1.3.2│考点类析[小结]利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意两点：(1)奇函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相同，偶函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相反．(2)确定单调区间，依据题设条件将不等式转化为具体不等式，在这个区间上解不等式．1.3.2│考点类析拓展：奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，其y轴右侧图像如图1­3­7所示，则满足f(x)0的x的集合是_________________________________________________．图1­3­7(－2，0)∪(2，5)[解析]由奇函数f(x)的图像可知，当x∈(2，5)时，f(x)