求解变力做功的十种方法

1求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法。一.动能定理法例1.一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F所做的功为：（）A：cosmgLB：)cos1(mgLC.：sinFLD：cosFL分析：在这一过程中，小球受到重力、拉力F、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功，由于从平衡位置P点很缓慢地移到Q点.，小球的动能的增量为零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。解：由动能定理可知：0GFWW)cos1(mgLWWGF故B答案正确。小结：如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。二.微元求和法例2.如图2所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。解：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小位移sss123、、……sn都与当时的F方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：WFsFsFsFsFssssFRnn()()1231232……·小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可化曲为直,把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用WFscos计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和.三.等值法等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。例3.如图3，定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。分析：在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。解：由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别为：QθLPF图1O图2图32sin1Hssin2Hs那么恒力F的作用点移动的距离为：)sin1sin1(21Hsss故恒力F做的功：)sin1sin1(FHW小结：把变力做功巧妙转化为恒力做功也是一种很有效的求解方法。四.平均力法例4：如图4所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。解:木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法求。木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降1x，水面上升2x根据水的体积不变，则：2212xhxh得21xx所以当木块下降4h时，木块恰好完全浸没在水中，1122122)(xxghxxghFF浮所以42211814220424ghhhghhFFhFW木块恰好完全浸没在水中经hhhh45432到容器底部，压力为恒力22hghF所以42285452ghhhghhFW故压力所做的功为：42143gh小结：用平均值求变力做功的关键是先判断変力F与位移S是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F和末状态的力2F。当已知力为线性变化的力时，我们可以求平均力221FFF，然后再利用功的公式sFW进行求解。五.图象法例5.用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？解:铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F－x图象，如图5，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S1=S2(面积)即：21kx12=21k(x2+x1)(x2－x1)得cmx22所以第二次击钉子进入木板的深度为：cmxxx)12(12小结：某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F与位移S的图像，则图4图5Fx1x2x2kx1kxO1S2S3F-S图像中与S轴所围的面积表示该过程中変力F做的功。六.用公式W=Pt求解例6.质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时车速达到最大值。已知汽车所受的阻力不变，虽然汽车的牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。但由于汽车的功率恒定，汽车的功率可用P=Fv求，因此汽车所做的功则可用W=Pt进行计算。解：当速度最大时牵引力和阻力相等，mmfvFvP汽车牵引力做的功为tfvWm根据动能定理有：221mmvfsW解得：f=6000(N)对于变力做功的问题，首先注意审题，其次在此基础上弄清物理过程，再建立好物理模型，最后使用以上谈到的各种方法进行解题，就会达到事半功倍的效果。小结：对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据WPt来求牵引力这个变力所做的功。七.机械能守恒法例7.如图7所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以vms05/的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度hm5，求弹簧的弹力对物体所做的功。解：由于斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则对状态A：EmghmvA022对状态B：EWB弹簧0由机械能守恒定律得：WmghmvJ弹簧022125小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。八.功能原理法例8.如图8所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？解：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用WFlcos求解。该过程中，物体要经历图8所示的状态，当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为：habb1222由功能原理可知WEEPk外当Ek0时，W外最小，为：WEmghmgabbp外1222。小结：做功是能量转化的原因，做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的如图7图84情况，则给求変力做功提供了一条简便的途径。关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。九.能量守恒法例9.如图9所示，一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取102ms/）求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此过程中力F所做的功。解：（1）设A上升前，弹簧的压缩量为x1，B刚要离开地面时弹簧的伸长量为x2，A上升的加速度为a。A原来静止时，因受力平衡，有：kxmg1①设施加向上的力，使A刚做匀加速运动时的最小拉力为F1，有：Fkxmgma11②B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为F2，对A有：Fkxmgma22③对B有：kxmg2④由位移公式，对A有：xxat1222⑤由①④式，得：xxmgkm12015.⑥由⑤⑥式，解得ams3752./⑦分别解②③得：FNFN1245285⑧⑨（2）力作用的0.4s内，在末状态有xx12，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：WmgxxmatJF1222495().小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。十.利用W=qU在匀强电场中移动电荷的时候，可以直接根据恒力做功的公式求解。如果是在非匀强电场中，由于电场力是变力，不能用功的定义式求解，但若已知电荷的电量和电场中两点间的电势差，我们就可以用公式WqU进行求解。例10.电场中有A、B两点，它们的电势分别为ABVV100200，，把电量qC20107.的电荷从A点移动到B点，是电场力做功还是克服电场力做功？做了多少功？解：电荷从A到B的过程中，电场力作的功为：WqUJABAB()().210100200601075因为W0，所以是电场力做功。小结：求非匀强电场中电场力做功时，一般都用该方法求解。综上所述，变力做功的求解有很多方法，一个个看似复杂，无法求解变力做功的问题，只要灵活运用以上方法，就一定能够手到擒来。图9