函数概念及分段函数

..函数概念与分段函数一、函数的的解析式的求法例：(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，求f(x)．[学大名师指点]：解析式的求法有待定系数法、配凑法、换元法、消去法等二、函数的定义域求法例1若函数y＝f(x)的定义域是[1,2014]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是()A．[0,2013]B．[0,1)∪(1,2013]C．(1,2014]D．[－1,1)∪(1,2013]例2．若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lgx)的定义域为()A．[－1,1]B．[1,2]C．[10,100]D．[0，lg2]例3．(2015·模拟)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值围为________[学大名师指点]：抽象函数定义域注意两个因数：一是定义域值得是x的围，而是（）的围一致！课堂练习1、若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lgx)的定义域为()A．[－1,1]B．[1,2]C．[10,100]D．[0，lg2]2、函数f(x)＝10＋9x－x2lgx－1的定义域为()A．[1,10]B．[1,2)∪(2,10]..A11oyxByx11OCyxO11DyxO11C．(1,10]D．(1,2)∪(2,10]3、(2015·月考)已知y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则y＝f(log2x)的定义域是________．4、设函数f(x)满足f(x)＝1＋f12log2x，则f(2)＝________.5、已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．6、如果f1x＝x1－x，则当x≠0且x≠1时，求f(x)的解析式；三、关于分段函数专题1、分段函数的定义域、值域例．求函数)(xf＝)2(,2)2(,42xxxxx的值域．练习．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);xxfxxxx的定义域、值域.２作分段函数的图象例．函数|ln||1|xyex的图像大致是（）３求分段函数的函数值例．已知)(xf＝)0.(0)0(,)0(,1xxxx求(((3)))fff的值．..练习．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1xxfxxx求12[()]ff.４求分段函数的最值例．已知函数)(xf＝22(0)(0)xxx，≥，求出这个函数的最值．练习．求函数43(0)()3(01)5(1)xxfxxxxx的最大值.５分段函数的表达式例．如图３，动点P从边长为１的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过BCD，，再回到A，设x表示P点的行程，y表示PA的长度，求y关于x的表达式．练习（2015高考）如图，长方形ABCD的边2AB，1BC，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx．将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数()fx，求()yfx的解析式ABCDP..6解分段函数的不等式例0,30,1)(2xxxxxf，解下列问题（1）解方程4)(xf；（2）4)(xf；（3）)]1([ff练习．设函数1221(0)()(0)xxfxxx,若0()1fx,则0x得取值围是（）.(1,1)A.(1,)B.(,2)(0,)C.(,1)(1,)D练习．设函数2(1)(1)()41(1)xxfxxx,则使得()1fx的自变量x的取值围为（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]7分段函数的奇偶性例．判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性...8分段函数的单调性例．判断函数32(0)()(0)xxxfxxx的单调性.课堂练习1、设,0.(),0.xexgxlnxx则1(())2gg____2、设函数,2)2(),0()4(.0,2,0)(2fffxcbxxxf若　　　　则关于x的方程xxf)(解的个数为A．1B．2C．3D．43、设函数.)().0(1),0(121)(aafxxxxxf若,则实数a的取值围是4、已知,0,1,0,1)(xxxf则不等式)2()2(xfxx≤5的解集是[学大名师指点]：分段函数问题分段解决！课堂能力提升练习1．已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）2．若，则f（log23）=（）A．﹣23B．11C．19D．243．已知函数，则下列命题中：（1）函数f（x）在[﹣1，+∞）上为周期函数；..（2）函数f（x）在区间[m，m+1）（m∈N）上单调递增；（3）函数f（x）在x=m﹣1（m∈N）取到最大值0，且无最小值；（4）若方程f（x）=loga（x+2）（0＜a＜1），有且只有两个实根，则．正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知，则下列选项错误的是（）A．①是f（x﹣1）的图象B．②是f（﹣x）的图象C．③是f（|x|）的图象D．④是|f（x）|的图象5.已知函数f(x)=|x2－2x－3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，则a=。课后能力提升一．选择题1．设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2B．﹣4或2C．﹣2或4D．﹣2或22．已知函数若，则实数a=（）A．B．C．D．3．已知，则f（log23）=（）A．B．C．D．4．若f（x）=，则f（﹣2）的值为（）A．0B．1C．2D．﹣2..5．设函数f（x）=，则f（f（f（）﹣5））=（）A．3B．4C．7D．96．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（）A．﹣1B．1C．6D．127．在自然数集N上定义的函数f（n）=则f（90）的值是（）A．997B．998C．999D．10008．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值围是（）A．B．（C．（D．）9．已知函数f（x）=，则方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数（）A．5B．6C．7D．810、.设12322()log(1)2xexfxxx，则不等式()2fx的解集为()A.(1,2)(3,)B.(10,)C.(1,2)(10,)D.(1,2)11．已知函数(21)72(1)()(1)xaxaxfxax在（－∞，＋∞）上单调递减，则实数a的取值围是()A．（0,1）B．（0,21）C．3,18D．31,8212.已知f（x）=,0,0,0,1xx则不等式xf（x）+x≤2的解集是________________...13.定义“符号函数”f（x）=sgnx=,01,00,01xxx则不等式x+2＞（x－2）sgnx的解集是______________.