圆的培优讲义

1ADECBABCDE一、圆的定义1、动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆①圆心:确定圆的位置——圆心相同的圆叫做同心圆确定圆需要两个条件②半径：确定圆的大小——半径相等的圆叫做等圆2、静态定义圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）．圆的特点（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．考点1:证明一些点共圆题型1：直角三角形例1、如图，在ABC中BD⊥AC,CE⊥AB,证明BCDE在同一个圆上题型2：矩形、正方形例2证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.考点2：利用半径相等构造等腰三角形求角度例3：如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B，若BD=OD，∠AOC=114º，求∠AOD的度数。2．圆心、半径固定的端点O叫做圆心．线段OA叫做半径，一般用r表示．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”3．弦、直径连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦．考点3：求弦的最值例4、P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．O2例5、⊙O所在平面上的一点P到⊙O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？4．圆弧（弧）1、优弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧的分类2、半圆3、劣弧等弧：能够重合的弧叫做等弧，不是长度相等的弧例6、判断下列说法的正误(1)弦是直径(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径(5)半圆是最长的弧(6)直径是最长的弦；(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;(8)半径相等的两个圆是等圆变式训练：1.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有()A.2个B.3个C.4个D.5个2．已知，如图，CD是直径，84EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。3、⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。例4在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？DOEBAC31、思维导图：2、内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。垂径定理平分弦所对的两条弧。）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等。相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。3、垂径定理常见的五种基本图形4、垂径定理的两种变形图基本题型一、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）（A）5（B）7（C）375（D）377练习1、已知：在⊙O中，弦cm12AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求圆的半径.三个元素：弧、弦和直径两种关系：垂直平分两类应用：计算证明CDABOEDOBACOBCADDOBCAEDCOABOBAC图1ODABC4练习2、如图，在⊙O中，AB是弦，C为的中点，若32BC，O到AB的距离为1.求⊙O的半径.练习3、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB为10米，拱高CD为1米.求桥拱的半径.二、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图2所示，则这个小孔的直径ABmm．练习2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是cm.三、求弦心距例3.如图，已知在⊙O中，弦CDAB，且CDAB，垂足为H，ABOE于E，CDOF于F.（1）求证：四边形OEHF是正方形.（2）若3CH，9DH，求圆心O到弦AB和CD的距离.练习3.如图4，O的半径为5，弦8AB，OCAB于C，则OC的长等于．BA8mm图2DCOAB图3图4COAB5四、求拱高例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB=16m，半径OA=10m，高度CD为_____m．五、求角度例5.如图6，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60º，则∠B=．六、探究线段的最小值例6.如图7，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．七、其他题型例7、如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例8、在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.ABDCEODCAOB图5CODAB图6COABP图76OABP例10、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。例11、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=21BF.例12、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAEE，CDBF于F.求证：FDEC.例13、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB与点B运动所形成的圆O交于点A，测得PA＝4cm，AB＝5cm，⊙O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离。例14.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3,2，求BAC的度数．例15.已知：⊙O的直径CD=4，弦AB⊥CD，AB=23，求ACD的度数CABDEOABDEFC7例16．如图，同心圆中，小圆的弦交AB于C、D，证明AC=BD拓展：（1）若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3:2B.5:2C.5:2D.5:4(2)若ACBC=12，求圆环的面积A·OCDB例168圆第三节与圆有关的角一．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）注：当两条弧相等时不用说明在同圆或等圆中。定理考察．例1、下列说法中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、相等的弧所对的圆心角相等C、相等的弦所对的弦心距相等D、弦心距相等，则弦相等例2．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABEFOOPOCO1O2ODO9例3．如图所示，在⊙O中，CO⊥AD，2AD=AB．求证:AB=2CA例4、已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。例5．在⊙O中，AB与CD为两平行弦，ABCD，AB、CD所对圆心角分别为60,120，若⊙O的半径为6，则AB、CD两弦相距（）A、3B、6C、13D、333例6．如图所示，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．求证:EC=2EAABODCABODEC10二．圆周角定理考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．Eg:判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg:如下三图，请证明。考点34.推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．考点45.圆内接四边形①圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。②圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。③判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。11经典例题2、如图，AB为⊙O的直径，3BCAC，则ABC＝.122、如图，AB为⊙O的直径，C为AB的中点，D为半圆AB上一点，则ADC＝.3、如图，AB为⊙O的直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，则ABC＝.三、构造特殊的等腰三角形例3、如图，⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则BOC＝.例4、如图1，ABC内接于⊙O，445，ABC则⊙O的半径为（）.A．22B．4C．32D．5变式训练1、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BAC＝50，则ADC＝.2.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝。13四、一条弦所对的圆周角有两个例5、⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角的度数是。变式训练1、在⊙O中，圆心O到弦AB的距离等于弦AB的一半，则选AB所对圆周角的度数是。2、已知⊙O的半径是6，弦AB的长为0652xx的一个根，则圆心O到弦AB的距离及AB所对的圆心角的度数是。五、圆的内接四边形例1已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数．例2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=110°，求∠BCD的度数.变式训练：1、如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD的度数是140°，则∠BOD的度数是。2.如图，点B、D在⊙O上，点C⊙O上异于B、D的一个动点，是若∠BOD的度数是70°，则∠BCD的度数是。例3、（利用辅助圆求角度）3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，CBD＝20，BDC＝30，则BAD＝.DBCO·DBCO·14变式训练1、如图，四边形ABCD中，ACB＝ADB＝90，ADC＝25，则ABC＝.例4.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．变式训练：1、已知△ABC中，∠BAC=90°，BC=AC，D是BA边上一点（点D不与A,B重合），M是CA的中点。以CD为直径的⊙O与BA边交于N，⊙O与射线NM交于点E，连接CD,DE。（1）求证线段BN=AN；（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由。15圆第四节点、直线与圆的位置关系一、点与圆的位置关系（一）.认识点和圆的位置关系及相关概念，会利用点和圆的位置关系和数量关系解题①点P在圆上d=r②点P在圆外d＞r③点P在圆内d＜r（注：d是点P到圆心的距离，r是圆的半径,其中从左往右推到“”是圆的位置关系的性质；从右往左推到“”是点和圆的位置的判定方法）判断点和圆的位置关系有两种：①当题目给出点和圆的图形时，根据图形判断②当没有图形，题目给出数量时，通过比较点和圆心的距离与半径的大小关系判断经典例题例1：在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，（1）以点C为圆心，以r=3为半径作圆，判断A、B两点和⊙C的位置关系；（2）当r在什么范围内时，点A,B在⊙C内；（3）当r在什么范围内时，点A,B在⊙C外；（4）当r在什么范围内时，点A,B一个在⊙C内、一个在⊙C外。变式训练：1、已知⊙O的直径为10cm，点P不在⊙O外，则OP的长（）A.小于5cmB.不大于5cmC.小于10c