函数单调性练习题

1函数单调性练习题1.（1）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是.（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是.（3）已知x∈[0，1]，则函数的最大值为_______最小值为_________2.讨论函数f(x)＝21xax(a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.解：设-1＜x1＜x2＜１，则f(x1)-f(x2)＝2111xax-2221xax＝)1)(1()1)((22212121xxxxxxa∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.3.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？4.已知：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)f(x2－1)求x的取值范围．5.设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间．xxy122上是单调递减的。），（－在，由复合函数单调性可知是单减的，上在又），（－），（而）上是增函数，，（在则由已知得解：令04)]([)2()0,4(2)(04622)(62)(,2)(xxtfxfxxxtxxxtttfxxt），的单减区间是（－04)2(xf26．函数21)(xaxxf在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）A.210aB.21aC.a-1或a1D.a-2解：f(x)＝ax＋1x＋2＝a(x＋2)＋1－2ax＋2＝1－2ax＋2＋a.任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2ax1＋2－1－2ax2＋2＝(1－2a)(x2－x1)(x1＋2)(x2＋2).∵函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x1)－f(x2)0.∵x2－x10，x1＋20，x2＋20，∴1－2a0，a12.即实数a的取值范围是12，＋∞.7.已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0.若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，x≥0，4x－x2＝－(x－2)2＋4，x0，由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)f(a)得2－a2a，即a2＋a－20，解得－2a1.故选C.8.已知f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x－2)≤39.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21xx=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.（1）求f(1)（2）判断f(x（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.（1）f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0。（2）当0xy时，y/x1，所以f(y)-f(x)=f(y/x)0。故f单调减。（3）f(3)=-1，f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3)，f(9)=-2而f（｜x｜)＜-2=f(9)，且f单调减，所以|x|9x＞9或x＜-93)2()4()8(2)2()2()4()()()(ffffffyfxfxyf解：)2()2()(2xxfxfxf又)8()2(2fxxf由题意有82020R)(2xxxxxf上的增函数为＋42，解得x310.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.∴f（x2）＞f(x1).f(x)是R上的增函数.（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m＜,故解集为.11.设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(yfxfyxf（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式2)31()(xfxf。（1）证明：)()()(yfxfyxf，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，)()()]()1([)()1()()1()(yfxfyffxfyfxfyxfxyf。（2）解：∵)]3()1([)()31()(xffxfxfxf)3()3()(2xxfxfxf，∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），∴2)31()(xfxf等价于：)4()3(2fxxf①，且x0，x-30[由f（x）定义域为（0，+∞）可得∵03)3(2xxxx，40，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴①41432xxx。又x3，∴原不等式解集为：{x|3x≤4}。12.已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．(1)若a0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：3434,14(1)当a0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤3a，即此时函数f(x)的定义域是－∞，3a；(2)当a－10，即a1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1a≤3.当a－10，即a1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a0，此时a0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．13.定义在R上的函数()yfx，(0)0f，当0x时，()1fx，且对任意的abR、，有()()()fabfafb.(1)求(0)f的值；(2)求证：对任意的xR，恒有()0fx；(3)若2()(2)1fxfxx，求x的取值范围.解：（1）解：令0ab，则2(0)(0).ff又(0)0f，(0)1f.（2）证明：当0x时，0x，∴()1fx∵(0)()()1ffxfx，∴1()0()fxfx又0x时，()10fx∴对任意的xR，恒有()0fx.（3）解：设12xx，则210xx.∴21()1fxx.又1()0fx∴1212111211()()()[()]()()()fxfxfxfxxxfxfxxfx=121()[1()]0fxfxx∴12()()fxfx.∴()fx是R上的增函数.由2()(2)1fxfxx，(0)1f得2(3)(0)fxxf.∴230xx，∴03x∴所求的x的取值范围为(0,3)14.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，则x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．解法二：设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.