等差数列与等比数列类比总结(对比学习-全面知识点)精编材料-适合收藏word版

[数列]1|2等差数列与等比数列对比知识点总结等差数列等比数列1．等差数列的定义1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．递推式表示为1nnaad或1(2)nnaadn．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示（0q）．递推式表示为1nnaqa或1(2)nnaqna．2．等差中项2．等比中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项．此时2abA，2abA．若三个数a，G，b成等比数列，则G叫作a与b的等比中项．此时2Gab，Gab．3．等差数列的通项公式3．等比数列的通项公式等差数列{}na的首项为1a，公差为d，则1(1)naand．等比数列{}na的首项为1a，公比为q，则11nnaaq．4．等差数列的性质4．等比数列的性质（1）等差数列{}na的第m项为ma，则()nmaanmd．★（2）若mnpq，则mnpqaaaa，若2mnp，则2mnpaaa．★（3）下标成等差数列且公差为m的项ka,kma,2kma,组成公差为md的等差数列．（4）{}na是公差为d的等差数列，则{}nkab也是等差数列，公差为kd．（5）{}na,{}nb都是等差数列，则{}nnab,{}nnpaqb也是等差数列．（1）等比数列{}na的第m项为ma，则nmnmaaq．★（2）若mnpq，则mnpqaaaa，若2mnp，则2mnpaaa．★（3）下标成等差数列且公差为m的项ka,kma,2kma,组成公比为mq的等比数列．（4）{}na是公比为q的等比数列，则{}nka也是等比数列，公比为q．（5）{}na,{}nb都是等比数列，则{}nka，{||}na，2{}na，1{}na，{}nnab，{}nnab也是等比数列．5．判断一个数列是等差数列的方法5．判断一个数列是等比数列的方法（1）定义法：1nnaad（常数）．（2）等差中项法：122++=+nnnaaa或112-+=+nnnaaa．★（3）通项公式法：=naknb（公差为k）．（4）前n项和公式法：2nSAnBn（不含常数项的二次函数）．★（1）定义法：1nnaqa（常数）．★（2）等比中项法：212+=nnnaaa或211-+=nnnaaa．★（3）通项公式法：11=nnaaq（公比为q）．（4）前n项和公式法：(0,0)nnSAqAAq6．等差数列前n项和公式6．等比数列前n项和公式1()2nnnaaS（类似梯形面积公式）★1(1)2nnnSnad（带入na通项公式得到）★21()22nddSnan（以n为变量，体现二次函数）2nSAnBn（简化写法，不含常数项的二次函数）111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq注意：应用求和公式时，要先看q是否等于1，必要时需讨论．7．等差数列和的有关性质7．等比数列和的有关性质等差数列{}na，公差为d，前n项和为nS，那么：（1）{}nSn也成等差数列，其首项与{}na首项相同，公差是{}na公差的12．等比数列{}na，公比为q，前n项和为nS，那么：（1）数列232,,,kkkkkSSSSS是等比数列，公比为kq．★[数列]2|2（2）等差数列{}nb，前n项和为nT，则有2121nnnnaSbT，（21(21)nnSna）．★（3）数列232,,,kkkkkSSSSS是等差数列，公差为2kd．★（4）S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n时，SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶；②当项数为奇数21n时，nSSa奇偶，1SnSn奇偶．（2）mnmnmnnmSSqSSqS．（3）S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n时，SqS偶奇；②当项数为奇数21n时，1SaqS奇偶．8.等差数列和与函数的关系及和的最值21()22nddSnan简写为2()nSAnBnn*N，可以把(,)nnS看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．nS最大值最小值最值条件10,0ad10,0ad通项法0na且10na在n处nS取最大值0na且10na在n处nS取最小值二次函数法对称轴是整数，在对称轴取最大值，对称轴不是整数，在距离对称轴最近的整数取最大值对称轴是整数，在对称轴取最小值，对称轴不是整数，在距离对称轴最近的整数取最小值数学浪子整理制作，侵权必究x=-B2Ad01S1=a10nSnOx=-B2Ad01S1=a10nSnO