直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)

一知识与方法直线与圆锥曲线的位置关系:几何角度直线与圆的位置关系:1)相离2)相切3)相交有两个交点没有交点有一个交点1）相离2）相切3）相交有一个交点直线l绕着点(0，3)旋转过程中，与椭圆的交点情况如何？L的斜率变化情况如何？22143xy-22xy33L2相切L3相交L4相切l-22xy3L1L2L3L4直线L绕着点(0，3)旋转过程中，直线L与双曲线的交点情况如何？L的斜率变化情况如何？22143xyxyL1L2L3直线L绕着点(-1，3)转过程中，直线L与抛物线的交点情况如何？L的斜率变化情况如何？24yx直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系:设直线与椭圆方程分别为:y=kx+m与:12222byax联立方程组y=kx+mb2x2+a2y2=a2b2消去y得:Ax2+Bx+C=0(1)△0相交(2)△=0相切(3)△0相离直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与双曲线的位置关系:设直线与双曲线方程分别为:y=kx+m与:12222byax(1)若直线与渐近线平行,则相交且只有一个交点.(2)若直线与渐近线重合,则相离即没有交点.(3)若直线与渐近线相交,消去y得:Ax2+Bx+C=0联立方程组y=kx+mb2x2-a2y2=a2b2故①△0相交②△=0相切③△0相离直线与双曲线位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:两个交点相切:一个交点若直线与渐近线平行,则相交且只有一个交点.判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离3.直线与抛物线的位置关系:设直线与抛物线方程分别为:y=kx+m与y2=2px:(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.(2)若直线与对称轴相交,得:Ax2+Bx+C=0y=kx+my2=2px由故①△0相交②△=0相切③△0相离FxyoFxyoFxyoFxyo3.直线与抛物线的位置关系:设直线与抛物线方程分别为:y=kx+m与y2=2px:(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.(2)若直线与对称轴相交,得:Ax2+Bx+C=0y=kx+my2=2px由故①△0相交②△=0相切③△0相离所以“直线与抛物线或双曲线有一个公共点是直线与抛物线或双曲线相切的必要不充分条件”把直线方程代入圆锥曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程计算判别式0=00相交2相切1相离0双曲线，直线与渐近线平行抛物线，直线与对称轴平行或重合相交1相交12.弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。=3．设直线Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线f(x，y)＝0相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋1k2|y1－y2|＝(1＋1k2)[(y1＋y2)2－4y1y2].xy0AADxy01.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系为()(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()(A)4(B)3(C)2(D)13.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线条数是()(A)0(B)1(C)2(D)314922yx(2009·福建)已知双曲线x212－y24＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围()A．(－33，33)B．(－3，3)C.－33，33D．[－3，3]又由双曲线方程x212－y24＝1，有双曲线的渐近线方程为y＝±33x，∴有－33≤k≤33.•答案：C•【例1】已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值．•分析：先用代数方法即联立方程组解决，再从几何上验证结论．解析：联立方程组y＝(a＋1)x－1，y2＝ax.(1)当a＝0时，此方程组恰有一组解为x＝1，y＝0.(2)当a≠0时，消去x，得a＋1ay2－y－1＝0.①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，方程组恰有一组解x＝－1，y＝－1.②若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，得1＋4(a＋1)a＝0，可解得a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述知，当a为0，－1，－45时，直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点．三、弦的中点问题设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.两式相减可得y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－b2a2，即kAB＝.类似的可得圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1时，有kAB＝b2x0a2y0.圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)时，有kAB＝.－b2x0a2y02px0y014922yx)1,2(QAB求椭圆被点平分的弦所在的直线方程.(3,0)F(2,0)D11,2A已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，,右顶点为,设点.左焦点为（1）求该椭圆的标准方程；PPAM2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；O,BCABC（3）过原点的直线交椭圆于点求面积的最大值。过点M(－2,0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12解析：如图，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P(x1＋x22，y1＋y22)，则k2＝kOP＝y1＋y2x1＋x2，又因为P1，P2在椭圆x22＋y2＝1上，所以有x212＋y21＝1，x222＋y22＝1，两式相减得12(x1＋x2)(x1－x2)＝－(y1＋y2)(y1－y2)，即y1－y2x1－x2＝－12·x1＋x2y1＋y2，则k1＝－12k2，即有k1·k2＝－12，设F1、F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，求证：kPM·kPN是与点P位置无关的定值．解析：设点M(m，n)是椭圆x2a2＋y2b2＝1①上的任一点，N(－m，－n)是M关于原点的中心对称点，则m2a2＋n2b2＝1.②又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kPM·kPN存在．则kPM＝y－nx－m，kPN＝y＋nx＋m，∴kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2.①－②，得x2－m2a2＋y2－n2b2＝0,y2－n2x2－m2＝－b2a2，∴kPM·kPN＝－b2a2.故kPM·kPN与P的位置无关．(1)对归纳型问题，要通过观察、比较、分析、抽象、概括、猜测来完成；(2)对存在性问题，从适合条件的结论存在入手，找出一个正确结论即可．已知椭圆C的两焦点F1(－22，0)、F2(22，0)．(1)当直线l过F1且与椭圆C交于M、N两点，且△MF2N的周长为12时，求C的方程；(2)在满足(1)的条件下，是否存在直线m过P(0,2)点与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点．若存在，求直线m的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)由条件知c＝22，又△MF2N的周长为12，∴12＝|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a.∴a＝3，b＝1.∴椭圆的方程为x29＋y2＝1.已知椭圆C的两焦点F1(－22，0)、F2(22，0)．(2)在满足(1)的条件下，是否存在直线m过P(0,2)点与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点．若存在，求直线m的方程；若不存在，说明理由．(2)设直线m的方程为y＝kx＋2(k≠0且k存在)，联立方程组y＝kx＋2，x29＋y2＝1，解得x2＋9(kx＋2)2＝9，即(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0.∵直线m与椭圆交于A、B两点，∴Δ＝(36k)2－4×27(1＋9k2)＞0，即9k2－3＞0，∴k＞33或k＜－33.(*)设A、B两点的坐标是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－361＋9k2，x1·x2＝271＋9k2.由于以AB为直径的圆过原点，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，即27(1＋k2)1＋9k2－72k21＋9k2＋4＝0，解得k＝±313，满足(*)式．∴满足条件的直线m存在，且直线m的方程为：31x－3y＋6＝0或31x＋3y－6＝0.•规律总结：探索性试题常见的题型有两类：一是给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者探索出一般规律，并能论证所得规律的正确性，通常要求对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．•二是只给出条件，要求解题者论证在此条件下会不会出•现某个结论．•这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、•“是否存在”等语句表述．•解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在假设，•然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，•若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，•则否定了存在性．