曲线积分与曲面积分复习

第十一章曲线与曲面积分第一类曲线积分特点(1)被积函数的定义域是曲线弧.(,),(,)fxyxyL(2)微元是平面曲线弧长元素.ds(3)空间曲线上的一类曲线积分(,,)fxyzds(,)dLfxys对弧长的曲线积分:(1)公式法:22d()((,)()),)()(LxyttstfttdfL的参数方程：L:L:一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.2.第一类曲线积分的计算步骤：22d()((,)()),)()(Lxyttstfttdf1.写出L的参数方程，确定参数的范围2.化为定积分一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.(2)技巧：对称性简化计算.例题例122,xyLeds其中L为圆周直线及x轴在第一象限222,xyayx边界.计算内所围成的扇形的整个例3计算其中L为形成的弧段.yaxo例22,xyzds其中为折线ABCD,这里A，计算B，C，D依次为000002102132(,,),(,,),(,,),(,,).oxyABL1nMiM1iM2M1M述移动过程中变力所作的功W.设一质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动的作用，其中函数(,)(,)(,)FxyPxyiQxyj到点B,在移动过程中，这质点受到变力(,),(,)PxyQxy(,)Fxy在L上连续.计算在上(,)iiF第二类曲线积分1.引例：变力沿平面曲线做功WFSiiiiiWPxQyddLWPxQyddLPxQy对坐标的曲线积分(2)被积函数的定义域是曲线弧.(,),(,),(,)PxyQxyxyLddLPxQy对坐标的曲线积分特点(1)积分曲线是有向曲线弧.(3)微元是有向弧微分在坐标轴上的投影d,dxydsddddLLPxQyPxQy与一类曲线积分的本质区别(4)变力沿空间曲线做功dddLWPxQyRz一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.2.第二类曲线积分的计算(1)公式法:有向曲线L的参数方程：从到(,)(,)()(),()(),((dd()d()))dLxytxyxytttPttttPPQL:从到L:从到从到从到步骤：1.写出L的参数方程，确定参数的走向2.化为定积分一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.(,)(,)()(),()(),((dd()d()))dLxytxyxytttPttttPPQ例题yxyx11(,)B11(,)Aoyx,dLxyx其中L为沿抛物线从点2yx到的一段.例4计算11(,)A11(,)B例5计算其中是从到的直线段.3223,dddxyxzyxyz321(,,)A000(,,)B(1)格林公式——平面闭曲线定理1设区域D是由分段光滑的曲线L围成，则有ddddLDQPxyPxQyxy(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,其中L是D的正向边界曲线.DLD0L1L2L第二类曲线积分的重要定理说明：(1)格林公式仅计算平面闭曲线的二类曲线积分.ddddLDQPPxQyxyxy(2)L是D的正向边界曲线——沿着边界走，区域在左手.ddddLDQPPxQyxyxy(3)L必须是封闭的平面曲线.在D上具有连续一阶偏导数.(4)添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数.加负号：沿着边界走，区域在右手，记得添负号。挖洞：含奇点时莫忘挖洞去奇点.例6计算,)()3(Ldxyxdyyx其中L为9)4()1(22yx的负向.例7计算上由点到点的一段弧.,Lxdy其中L为122yx)0,1(A)1,0(B应用：其中L为一无重点且不过例8计算原点的分段光滑正向闭曲线.LyxoxyoLDrlDyxo1L2LBA12LLPdxQdyPdxQdy定义：曲线积分与路径无关等价于0CPdxQdy条件：12ddddLLPxQyPxQy120LLPdxQdy12dddd0LLPxQyPxQy(2)曲线积分与路径无关则曲线积分在D内定理2设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,在D内恒成立..PQyxddLPxQy路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充函数要条件是，其中L是从点00(,)例10计算cosdsindxLeyxyy到点的任意有向曲线.22(,)利用路径无关计算曲线积分，其中L是xoy平面内的任例9计算22ddLxyxxy意有向闭曲线.特点：路径无关，闭曲线,积分为零.特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.第二类曲线积分的计算方法总结1.公式法：被积函数与积分路径简单.(,)(,)()(),()(),((dd()d()))dLxytxyxytttPttttPPQddddLDQPPxQyxyxy2.格林公式：平面闭曲线，不易积分，但简单.QPxy3.路径无关：选择简单路径，积分..PQyx三、二元函数的全微分求积(,)d(,)dPxyxQxyy(,)uxy?du?设区域D是一个单连通域,函数P(x,y)及定理3PQyx在D内恒成立.u(x,y)的全微分的充ddPxQy在D内为某一函数Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则曲线积分的被积表达式要条件是1.全微分的条件(,0)Axyxo(,)Bxy在整个xoy面内例11验证的全微分，并求这样一个函数.是一函数第一类曲面积分(,,)d.fxyzS“一投，二代，三换，投影，换元看方程”第一类曲面积分的计算221(,)dd(,,)d[,,]xyxyDzxyzzfxyzSfxxyy例12计算,其中为球面222()IxyzdS2222xyzR222()IxyzdS2222xyzR2222xyzR例13计算，其中为222()IxyzdS22220()xyzRzR之间的圆柱面例14计算，其中为平面2221IdSxyz01,zz221xy例15计算，其中为球面2()IxyzdS2221xyz步骤：1.写出曲面的显式表达式(,)zzxy2.将曲面向xoy面投影xyD3.求出曲面面积元素221dddxyzzSxy221(,)dd(,,)d[,,]xyxyDzxyzzfxyzSfxxyy4.化为二重积分“一投，二代，三换，投影，换元看方程”预备知识：上侧下侧前侧后侧oxyz通过曲面上任一点处法向量的指向来指定.例：oxyz1.有向曲面的侧右侧左侧:(,)yyxzoxyzoxyz2.有向曲面在坐标面上的投影设为有向曲面,,S在上取一小块曲面上各点处法向量的方向余弦在xOy面上的投影区域的面积为假定有相同的符号.,)(yxS把在xoy面上的投影记为S则规定()xyS(),xy(),xy0,时当0cos时当0cos时当0coscosS(),zxS在zox面上的投影Soxyz(),yzS在yoz面上的投影Soxyz()yzS(),yz(),yz0,0cos0cos0coscosS()zxS(),zx(),zx0,0cos0cos0coscosS第二类曲面积分(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)PxyzdydzPxyzdydzQxyzdzdxQxyzdzdxRxyzdxdyRxyzdxdy用ˉ表示的反向曲面,则与侧有关性质:(,),xxyz(,)yzyzD取前侧取后侧:(,),yyzx(,)zxzxDoxyz取右侧取左侧oxyz第二类曲面积分的计算oxyz:(,),zzxy(,)xyxyD取上侧取下侧一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧例16计算其中是平面含在()dd,xzxyxza柱面部分内的上侧.222xya理解：在曲面上；曲面面积元素的投影.例17计算其中是球面22,xyzdxdy2222xyzR的下半部分的下侧.特点：曲面具有单值函数表达式dxdyzyxR),,(xyDdxdyyxzyxR)),(,,(2、化为二重积分3、计算二重积分:xyD1、明确的方程，确定投影:(,)zzxy步骤：一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧(,,)Pxyzdydz(,,)cosQxyzdS(,,)cosPxyzdS(,,)QxyzdzdxdSzyxRcos),,(dxdyzyxR),,(为有向曲面Σ在任意点处法向量的方向余弦.cos,cos,cos两类曲面积分之间的联系其中是2()dddd,zxyzzxy旋转抛物面介于平面z=0之间部分的下侧.例18计算及z=2oyxz2的方向取外侧.定理1设空间闭区域由分片光滑的闭在上有连续的一阶函数P,Q,R曲面所围成,则有偏导数,()dPQRPdydzQdzdxRdxdyvxyz.)coscoscos()(dSRQPdxdydzzRyQxP或高斯公式,其中是例19计算的内侧.2222xyza333Ixdydzydzdxzdxdy,其中2222,2zxyzxy例20计算所围立体表面的外侧.22Ixzdzdyyzdzdxxdxdy，其中例21计算为的下侧.22220()axdydzzadxdyIaxyz222zaxy三度例22已知,求在处(1)gradu2223(,,)uxyzxxyxyz(2)()divgradu(3)()rotgradu000(,,)