Fourier级数-习题课

Fourier级数习题课常数项级数函数项级数一般项级数正项级数幂级数三角级数收敛半径R泰勒展开式数或函数函数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数0)(xR为常数nu)(xuunn为函数满足狄氏条件0xx取在收敛级数与数条件下相互转化1nnu一、主要内容一、主要内容1.Fourier级数10)sincos(2~)(nnnnxbnxaaxfFourier系数),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann2.收敛定理（Dirichlet充分条件）f(x)在一个周期内①连续或只有有限个第一类间断点②只有有限个极值点则Fourier级数收敛，且10)sincos(2nnnnxbnxaa是间断点是连续点xxfxfxxf2)0()0()(3.周期为2L的函数展开为Fourier级数),2,1,0(,cos)(1ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1ndxlxnxflblln),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn若f(x)是奇函数或偶函数，则有简化的计算公式偶函数lnndxlxnxfla0),2,1,0(cos)(2),2,1(0nbn奇函数),2,1,0(0nanlnndxlxnxflb0),2,1(sin)(24.非周期函数的展开),[ll在上有定义的函数f(x)先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数展开成Fourier级数，最后限制自变量的取值范围，即得f(x)的Fourier级数展开式)0[l，在上有定义的函数f(x)奇延拓——-展开成正弦级数（收敛域一般不包含端点）偶延拓——展开成余弦级数（收敛域一定包含端点）5.强调几点这部分内容所涉及到的问题，类型不多，有求函数的Fourier级数展开式，讨论其和函数，证明三角等式，求某些数项级数的和。解法也比较固定首先是求出Fourier系数，写出Fourier级数，然后根据Dirichlet充分条件讨论其和函数⑴记住Fourier系数公式。Fourier系数的计算须不止一次地使用分部积分公式，要小心⑵掌握Dirichlet收敛定理的内容⑶求函数的Fourier级数展开式，必须注明展开式的成立范围——即连续区间，也即只要去掉间断点⑷注意函数的奇偶性、周期性⑸注意函数的定义域，是否需要延拓无论是奇延拓还是偶延拓，在计算展开式的系数时只用到f(x)在[0,l]上的值，所以在解题过程中并不需要具体作出延拓函数F(x)，而只须指明采用哪一种延拓方式即可Fourier级数收敛定理Fourier系数其它展开正弦、余弦级数求和函数的表达式、常数项级数的和二、典型例题例1系数的为常数表示试用系数是其为周期的函数，是以设FourierhhxfbaFourierbaxfnnnn)()(,,2)(解dxhxfA)(10hhdttf)(1dttf)(1220))()()((aadttfdttfdttfnxdxhxfAncos)(1hhdtnhnttf)cos()(1hhntdttfnhcos)(cos1hhntdttfnhsin)(sin1ntdttfnhntdttfnhsin)(1sincos)(1cosnhbnhannsincos同理nhanhbBnnnsincos级数展开为将例Fourierxxf)arcsin(sin)(2解为周期的函数是以2)(xf关键是写出f(x)在一个周期内的表达式xxxxxxxf2222)(易见f(x)是奇函数0na0sin)(2nxdxxfbn202]sin)(sin[2nxdxxnxdxx12)12()1(4201knkknk11)12sin(12)1(4)arcsin(sinnnxnnx)(x)4(),4(),3(),2(),(2),0()(32ssssxsxxxf求的和函数为为周期的正弦级数的以设例解此题是定义在),0(的函数展开成正弦级数为此首先对f(x)作奇延拓在作正弦展开0)(0)()(xxfxxfxF1sin)(nnnxbxs依收敛定理当x是连续点时s(x)=f(x)当x是间断点时2)0()0()(xfxfxs内连续在注意到),0()(xf只须注意端点处的情况)2()2()2(fFs420)]()([21)3(FFs16)4()4(2fs0)0()4(Fs例4已知f(x)在[-1,1]上的Fourier级数为122cos)1(431nnxnn该级数的和函数为s(x)则As(1)=1s(2)=4Bs(1)=0.5s(2)=4Cs(1)=0.5s(2)=0Ds(1)=1s(2)=01431)0()(5nnxxxf并由此求展开成余弦级数将例解对f(x)进行偶延拓0nb033022dxxa03cos2nxdxxan02sin6nxdxxn0222cos120cos6nxdxxnnxxn0322sin12cos6nxdxnnn]1)1[(1126)1(42nnnn1233cos)1(64nnnxnx]5cos513cos31[cos2444xxxx0令x=0得)4131211(6402223)51311(2444)31211(64)51311(24223441264234396513114441141nn4442614121)(1611612196151151412141nn21904上成立证明在例],0[613122)12()12sin(8)()2(2cos6)()1(nnnxnxxnnxxx证明)()(xxxf记本例实则是将函数f(x)展开成Fourier级数先展开成余弦级数，须进行偶延拓0nb0203)(2dxxxa0cos)(2nxdxxxan0sin)(2nxdxxn0sin)2(2nxdxxn02cos)2(2nxdxn022cos40cos)2(2nxdxnnxxn]1)1[(22nnknnkn241202且延拓后的函数也连续上连续，在因],0[)()(xxxf122cos6)(nnnxxxx0再展开成余弦级数，须进行奇延拓0na0sin)(2nxdxxxbn0cos)(2nxdxxn0cos)2(20cos)(nxdxxnnxxx02sin)2(2nxdxn02sin4nxdxn])1(1[43nn为奇数为偶数nnn380且延拓后的函数也连续上连续，在因],0[)()(xxxf13)12()12sin(8)(nnxnxxx0