斯托克斯公式

斯托克斯(Stokes)公式环量与旋度第七节第十章一、斯托克斯公式二、环量与旋度三、空间曲线积分与路径无关的条件★一、斯托克斯公式有向曲面的正向边界曲线：的正向与的侧符合右手法则，如图.是有向曲面的正向边界曲线右手法则n设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,如果函数一阶连续偏导数,则yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd或定理10.8斯托克斯公式将斯托克斯公式分为三式ΓxzyxPyxyPxzzPd),,(dddd)1(首先证明第一式.证明思路:第二类曲面积分第一类曲面积分二重积分第二类曲线积分ΓyzyxQzyzQyxxQd),,(dddd)2(ΓzzyxRxzxRzyyRd),,(dddd)3(第二类曲面积分证ΓxzyxPyxyPxzzPd),,(dddd)1(的正向边界曲线yxDyxyxfz),(,),(:方向为上侧与平行z轴的直线只交于一点,CxOy面上的投影为在.xyDC所围成的闭区域为yxyPxzzPdddd左边SγyPβzPdcoscos,1cos22yxyfffβcoscosγfβy故有dcosSγyPfzPy左边yxyPfzPydd),(,,yxfyxPy2211cosyxffγyfzPyPdcosSγyPfzPy左边yxyPfzPyddyfzPyPyxfyxPy),(,,yxyxfyxPyxyDdd),(,,xyxfyxPcd),(,,yxyPxzzPddddyxyPxzzPdddd即.上式仍成立也相应改成相反方向，取下侧，若Γ注成立d),(,,xyxfyxPc成立d),,(xzyxPΓd),,(ddddxzyxPyxyPxzzPΓ同理可证其余二式:ΓyzyxQzyzQyxxQd),,(dddd三式相加可得yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPdddΓzzyxRxzxRzyyRd),,(dddd(2)曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交在每一部分上应用斯托克由于沿辅助曲线方向相所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.于一点的几部分,然后相加,斯公式,反的两个曲线积分相加刚好抵消,注表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.1º斯托克斯公式的实质:2º斯托克斯公式便于记忆的形式:yxxzzyddddddzRyQxPddd或coscoscosdS.}cos,cos,{cos指定侧的单位法向量为其中γβαnzyxRQP3º斯托克斯公式是格林公式的推广斯托克斯公式格林公式特殊情形是xOy面上的有向闭区域时；，上侧面上的区域：事实上，设DxOy.，逆时针的边界面上的区域：LDxOyxyzOn=LzRyQxPdddLyyxQxyxPd)0,,(d)0,,(xyzOn=L面上的投影为零面在zOxyOz,yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(yxyPxQdd)(00yxyyxPxyxQDdd))0,,()0,,((DLyyxQxyxPd)0,,(d)0,,(yxyyxPxyxQDdd))0,,()0,,((这正是格林公式.4°何时采用斯托克斯公式？zRyQxPddd当对坐标的曲线积分：的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用斯托克斯公式.在斯托克斯公式中，是以为边界的任意分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可).5º如何选取？通常，取为平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.利用斯托克斯公式计算例1zyyxxzddd其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个边界,它的正方向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.记三角形域为,取上侧,解yxxzzyddddddyxxzzydddddd利用轮换对称性xyDyxdd3.23yxdd3zyxyxz利用斯托克斯公式计算曲线积分zyxyxzxzyId)(d)(d)(222222Γ10,10,10:23Γzyxzyx截立方体是用平面其中例2.,,针方向取逆时轴的正向看去若从的表面所得的截痕Ox解所围的部分，的上侧被为平面取Γ23zyx31coscoscos即,1,1,131n的单位法向量所围的部分，的上侧被为平面取Γ23zyxSId313131Szyxd)(34Sd2334)23,(zyx上在yxxyDdd332xy6zyx222222yxxzzy438121xy.的面积为平面上的投影区域，在为其中xyxyxyDxOyDxyI6.29I为柱面与平面y=z的交线从z轴正向看为顺时针,计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解(方法1)SId.0则其法线方向余弦γβαcoscoscoszyxzxyxy2yyx222例3设为平面z=y上被所围椭圆域且取下侧,(方法2)将：参数化：oz2yxttttttd]cos)sin1(cos2)sin()sin1[(0π22ttttttd]cos)sin1(cos2)sin()sin1[(0π22ttttd)2sinsin4sin3(π2023tu令)d(]2)πsin()π(sin4)π(sin3[ππ23uuuuuuuud]2sinsin4sin3(ππ23uud)2sin4(2π02π4dsin282π02uu.0π42π2128二、环量与旋度定义向量场kzyxRjzyxQizyxPF),,(),,(),,(的第二类曲线积分沿有向闭曲线rFd.的环量沿曲线向量场F称为注改变Γ的环行方向时,环量要变号.1.环量zRyQxPddd即记为,rotF,的旋度向量场F为定义当函数一阶连续偏导数时,称向量kyPxQjxRzPizQyR)()()(RQPzyxkjiFrot2.旋度由哈密尔顿算符的定义F.rotFF总伴随着另一个向量场向量场.,0rot为无旋场称向量场若FF注3º利用旋度,可将斯托克斯公式写为rFSFddrot4º斯托克斯公式的物理解释:的环流量沿有向闭曲线向量场F等于向量.所张的曲面的通量的旋度场通过场F.的侧符合右手法则）的正向与（1º2ºozxyl设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则),,(zyxr角速度为,r),,0,0(ωω点M的线速度为rωvzyxωkji00)0,,(xωyω5º旋度的力学意义M0xωyωzyxkji)2,0,0(ωω2线速度场中任一点处的旋度等于刚体旋转角速度的2倍，这就是“旋度”一词的由来.vrot除去一个常数因子2外，恰好等于物体旋转的角速度..Mπne内，定义在区域向量场F为M，为法向量做平面以过nMe内一点，，的闭曲线上任取包围在Mπ.，满足右手法则所围部分为.A面积为.e内单位向量为n根据斯托克斯公式和积分中值定理rFAd1SFAdrot1.MπnerFAd1SFAdrot1SFAnd)e(rot1.,]erot[**MFMn收缩向点当MrFAMd1lim*]erot[limMnMFMnF]erot[密度）。的方向旋量（或环量面nerFAMd1limMnF]erot[称环量对面积的变化率处沿方向在点为向量场MF有关的量，方向旋量是一个与方向ne与该点当ne.)(rot取最大值方向相同时，方向旋量的旋度MF向量场的旋度是一个向量,此向量的方向是使方向旋量取最大值的方向,此方向的模是该点处最大方向旋量的值.三、空间曲线积分与路径无关的条件径无关的充内有向曲线的积分与路沿则GzyxF),,(连续偏导数定理10.9设空间闭区域G是一个一维单连通域,kzyxRjzyxQizyxPF),,(),,(),,(要条件是0rotF即,yRzQ,zPxRxQyP★G内的任一闭曲线总可张一片完全含于G内的曲面注差）可用下式求出：这函数（不计一常数之的全微分内成为某一函数在表达式,),,(dddzyxuGzRyQxP,yRzQ,zPxRxQyP当成立时ddd),,(),,(),,(000zyxzyxzRyQxPzyxu或用定积分表示为),,(zyxu.),,(),,(0000GzyxMGzyxM内某一定点，点为其中xxxzyxP0d),,(00d),,(00yyyzyxQd),,(0zzzzyxR例4zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关,并求函数zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),,(),,()0,0,0(解令yxRxzQzyP,,,1xQyP,1yRzQyPxR1验证曲线积分积分与路径无关,因此选择特殊路径zyxxy)(yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),,(zyx)0,,(yx)0,0,(xzyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),,(),,()0,0,0(例5求电场强度rrqE3333rotrqzrqyrqxzyxkjiE的旋度.解)0,0,0((除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.保守场：而与从A到B的路径无关.，内是无旋场，即在若0rotFGF.内是保守场在则GF内容小结1.斯托克斯公式zRyQxPdddSRQPzyxγβαdcoscoscos的环量。沿曲线向量场F.2zRyQxPrFdddd的旋度向量场F.3RQPzyxkjiFrotkzyxRjzyxQizyxPF),,(),,(),,(4.向量径无关的充要条件内有向曲线的积分与路沿G0Frot即,yRzQ,zPxRxQyPuuzuyuxu,,grad本章小结,),,(zyxuu设,),,(RQPA梯度:AAzRyQxPdivARQPkjiAzyxrot散度:旋度:则1.场论中的三个重要概念场论中的三个重要定理DDyQxP