第十章-对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧n曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:在有向曲面Σ上取一小块曲面S面在xoyS,为上的投影xyS)(.0cos00cos)(0cos)()(时当时当时当xyxyxyS.)(表示投影区域的面积其中xy类似地可定义zxyxSSzoxyozS)()(和面上的投影及在二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.(1)流速场为常向量v,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).AAv0nAvnvAvA0cos流量(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.xyzo1.分割把曲面Σ分成n小块is(is同时也代表第i小块曲面的面积),在is上任取一点),,(iii,xyzoin),,(iiiiSiv则该点流速为.iv法向量为.in,),,(),,(),,(),,(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii该点处曲面Σ的单位法向量kjiniiiicoscoscos0,通过is流向指定侧的流量的近似值为).,,2,1(niSnviii2.求和通过Σ流向指定侧的流量niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQP]cos),,(cos),,(cos),,([1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP))(,,())(,,())(,,([13.取极限0.的精确值取极限得到流量三、概念及性质定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成n块小曲面iS(iS同时又表示第i块小曲面的面积),iS在xoy面上的投影为xyiS)(,),,(iii是iS上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,nixyiiiiSR10))(,,(lim存在,则称此极限为函数),,(zyxR在有向曲面Σ上对坐标yx,的曲面积分(也称第二类曲面积分)记作dxdyzyxR),,(,即nixyiiiiSRdxdyzyxR10))(,,(lim),,(积分曲面被积函数有向面积元类似可定义niyziiiiSPdydzzyxP10))(,,(lim),,(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10))(,,(lim),,(存在条件:当),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(性质:由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质1。可加性2121RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz2。反向性dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),,(),,(),,(),,(),,(),,()(21的侧要相容与四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面Σ是由方程),(yxzz所给出的曲面上侧,Σ在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,被积函数),,(zyxR在Σ上连续.xyzo),(yxfzxyDxys)(nixyiiiiSRdxdyzyxR10))(,,(lim),,(),(,)()(,0cos,iiixyxyizS又取上侧nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)))(,(,,(lim))(,,(limxyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(即,)()(,0cos,xyxyiS取下侧若xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(则有给出由如果,),(zyxxyzDdydzzyzyxPdydzzyxP],),,([),,(则有给出由如果,),(xzyyzxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ]),,(,[),,(注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式概括为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy面）定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号注①积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加②确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负例1计算ydzdxxdydzzdzdy30122zzyx及被平面是柱面所截得的在第一卦限的部分的前侧解0的投影区域的面积为在由于xoy0zdxdy故面的投影区域为在yoz10,30:yzDyzyzDdydzyxdydz21故301021dyydz43面的投影区域为在zox10,30:xzDzxzxDdzdxxydzdx4312故23ydzdxxdydzzdxdy计算xyzdxdy其中Σ是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.xyz12解两部分和分成把21;1:2211yxz,1:2222yxz例212xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222xyDrdrdrr例3计算yzdzdxxydydzxzdxdy是其中平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解分成四个部分1,0:1zxy左侧1,0:2yxz下侧1,0:3zyx后侧所截得的部分被0,0,01:4zyxzyx上侧1234上在110yzdzdxxydydzxzdxdy)0,0,(1zzoxyozxoy面上而在面上的投影为在因同理20yzdzdxxydydzxzdxdy30yzdzdxxydydzxzdxdy上在44)1(xyDdxdyyxxxzdxdy1010)1(xdyyxxdx241同理4241xydydz4241yzdzdxyzdzdxxydydzxzdxdy81注对坐标的曲面积分的对称性①被积表达式具有轮换对称性，即将被积表达式中的所有字母按xyz顺序代换后原式不变②积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同，且配给的符号也相同五、两类曲面积分之间的联系设有向曲面Σ是由方程),(yxzz给出,Σ在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,),,(zyxR在Σ上连续.),(yxfzxyzoxyDdsn对坐标的曲面积分为xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(曲面Σ的法向量的方向余弦为.11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz对面积的曲面积分为xyDdxdyyxzyxRdSzyxR)],(,,[cos),,(所以dSzyxRdxdyzyxRcos),,(),,((注意取曲面的两侧均成立)两类曲面积分之间的联系dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(向量形式dSASdAdSnASdAn或其中}cos,cos,{cos},,,{nRQPA为有向曲面Σ上点),,(zyx处的单位法向量,},,{dxdydzdxdydzdSnSd称为有向曲面元,nA为向量A在n上的投影.例4计算zdxdydydzxz)(2,其中Σ是旋转抛物面)(2122yxz介于平面0z及2z之间的部分的下侧.解dydzxz)(2dsxzcos)(2dxdyxzcoscos)(2有上在曲面,.11cos,1cos2222yxyxxdxdyzxxzzdxdydydzxz]))([()(22xyDdxdyyxxxyx)}(21)(])(41{[2222xyDdxdyyxx)](21[2222022220)21cos(rdrrrd.8注此例的解法具有普遍性Dyxyxzz),(,),(的方程为设光滑曲面取上侧上连续在RQP,,RdxdyQdzdxPdydzDyzyxzyxQxzyxzyxP)],(,,[)],(,,[dxdyyxzyxR]),(,,[六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”思考题设为球面1222zyx，若以其球面的外侧为正侧，试问221zxy之左侧（即oy轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么221zxy的左侧是正侧吗？思考题解答此时的左侧为负侧，221zxy而的左侧为正侧.221zxy练习题一、填空题:1、dzdxzyxQdzdxzyxQ),,(),,(=_______________________.2、第二类曲面积分dxdyRQdzdxPdydz化成第一类曲面积分是__________，其中,,为有向曲面上点),,(zyx处的___________的方向角.二、计算下列对坐标的曲面积分:1、ydzdxxdydzzdxdy,其中是柱面122yx被平面0z及3z所截得的在第一卦限内的部分的前侧；2、yzdzdxxydydzxzdxdy,其中是平面1,0,0,0zyxzyx所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；3、dxdyyxez22,其中为锥面22yxz和2,1zz所围立体整个表面的外侧.三、把对坐标的曲面积分dzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(dxdyzyxR),,(化成对面积的曲面积分,其中是平面63223zyx在第一卦限的部分的上侧.练习题答案一、1、0；2、dSRQP)coscoscos(,法向量.二、1、23；2、81；3、22e.三、dSRQP)5325253(.