高斯公式与斯托克斯公式

返回后页前页§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广.格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系;高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系;斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.返回返回后页前页一、高斯公式二、斯托克斯公式返回后页前页一、高斯公式定理22.3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P,Q,R在V上连续,且有一阶连续偏导数,则dddVPQRxyzxyzdd+dd+dd,(1)SPyzQzxRxy其中S取外侧.(1)式称为高斯公式.返回后页前页证下面只证ddddd.VSRxyzRxyz读者可类似ddddd,VSPxyzPyzxddddd.VSQxyzQzxy这些结果相加便得到高斯公式(1).先设V是一个xy型区域,即其边界曲面S由曲面证明其余两式:11():(,),(,),xySzzxyxyD返回后页前页及垂直于()xyD的柱面3S组成(图22-7),其中12(,)(,).zxyzxy于是按三重积分的计算方21()(,)(,)ddddddxyzxyzxyVDRRxyzxyzzz22():(,),(,),xySzzxyxyD法,有227图xyzO2S1S3S()xyD返回后页前页()2(,,((,))ddxyDRxyzxyxy21(,,)dd(,,)ddSSRxyzxyRxyzxy12,SS3Sxy在其中都取上侧.又由于平面上投影面21(,,)dd(,,)dd,SSRxyzxyRxyzxy()21((,,((,))(,,(,)))ddxyDRxyzxyRxyzxyxy()1(,,((,))ddxyDRxyzxyxy返回后页前页从而得到231dddddddddVSSSRxyzRxyRxyRxyz对于不是xy型区域的情形,一般可用有限个光滑3(,,)dd0.SRxyzxy积为零,所以曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论.dd.SRxy返回后页前页例1计算22()dddd()dd,SIyxzyzxzxyzxxy其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧.22()()()dddVIyxzxyxzxyzxyz解应用高斯公式,2401d.2aaayaya000()ddd=dd(+)daaaVyxxyzzyyxx返回后页前页注若在高斯公式中,,,PxQyRz则有dddddd(111)ddd.SVxyzyzxzxyxyz于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积的公式:11dddddd.3SVxyzyzxzxy例2计算22()dddd()dd,SyxzyzxzxyxzxyS225zxy1z其中为曲面上的部分,并取上侧.返回后页前页解由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式.为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面221:4,1,Sxyz1SS并取下侧,则构成一封闭曲面.于是122()dddd()ddSSyxzyzxzxyxzxy()dddVxyxyz2225001dd(cossin)d0.rrrrrz返回后页前页而122()dddd()ddSyxzyzxxzyxzxy2()dd4π.Dyxxy因此22()dddd()dd4π.Syxzyzxzxyxzxy例3证明电学中的高斯定理:在由点电荷q所产生的Eq静电场中,电场强度向外穿过任何包含在其内返回后页前页S4π.q部的光滑封闭曲面的电通量都等于q1,S1S证以为球心作一半径充分小的球面使全部Sq落在所包含的区域内部,并将坐标原点取在处.由电学知识,在点(,,)Mxyz处的电场强度为3(ijk),qExyzr设333(,,),(,,),(,,),qxqyqzPxyzQxyzRxyzrrr其中222.rxyz易验证(参见图22-8)返回后页前页0.PQRxyz所以穿过1S的电通量为13ddddddSqxyzyzxzxya33ddd4π,Vqxyzqa1SV1Sa其中取外侧,是包围的半径为的球体.S1S在与所围的空间区域上应用高斯公式,其边S1S界的外测是的外侧和的内侧.因为228图xyzS1SqO返回后页前页1ddddddddddddSSPyzQzxRxyPyzQzxRxyddd0,PQRxyzxyz所以穿过S的电通量为ddddddSPyzQzxRxy1ddddddSPyzQzxRxy4π.q返回后页前页二、斯托克斯公式先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定:设有人站在S上指定的一侧,若沿L行走,指定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线L的正向;若沿L行走,指定的侧总在人的右方,则人前进的方向为边界线L的负向.这个规定也称为右手法则,如图22-9所示.返回后页前页定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数P,Q,R在S(连同L)上连续,且有一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:229图正向LS负向LS返回后页前页其中S的侧与L的方向按右手法则确定.证先证其中曲面S由方程确定,它的正侧法线方(,)zzxyddddd,LSPPzxxyPxzy(3)ddd,(2)LPxQyRz()dd()dd()ddSRQPRQPyzzxxyyzzxxy返回后页前页coscos,.coscoszzxy若S在xy平面上的投影为区域(),xyDLxy在平面上的投影为曲线.现由第二型曲线积分定义及格林公式有(,,)d(,,(,))dLPxyzxPxyzxyx(,,1),xyzz(cos,cos,cos),向数为方向余弦为所以返回后页前页(,,(,)),PPzPxyzxyyyzy所以()(,,(,))dd.xyDPxyzxyxyy因为()(,,(,))ddxyDPxyzxyxyydd.SPPzxyyzy返回后页前页cosddddcosSSPPzPPxyxyyzyyzddcoscoscosSPPxyyzdddd.SPPzxxyzy由于cos,coszy从而coscosdSPPSyz返回后页前页ddddd(4)LSQQxyyzQyxzddddd(5)LSRRyzzxRzyx将(3),(4),(5)三式相加,即得公式(2).如果S不能以(,)zzxy的形式给出,则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块,使每一小块能用这综合上述结果,便得到所要证明的(3)式.当曲面S表示为(,),(,)xxyzyyzx时,同样可证返回后页前页为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:ddddddddd.LSyzzxxyPxQyRzxyzPQR(2)d()d()d,Lyzxxzyyzz例4计算其中种形式来表示.因而这时(2)式也能成立.1Lxyz为平面与各坐标面的交线,取图22-8所示的方向.返回后页前页解应用斯托克斯公式推得:(2)d()d()dLyzxxzyyxz(11)dd(11)dd(12)ddSyzzxxy132dd2dddd11.22SyzzxxyxyOz2210图(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)返回后页前页车胎状的环形区域则是非单连通的.与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理.不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点.例如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的;而形如区域V称为单连通的,如果V内任一封闭曲线皆可注上述之单连通,又称为“按曲面单连通”.其意义是:对于V内任一封闭曲线L,均能以L为边界,绷起一个位于V中的曲面.返回后页前页dddLPxQyRz与路线无关;ddd0;LPxQyRz(i)对于内任一按段光滑的封闭曲线L有(ii)对于内任一按段光滑的封闭曲线L,曲线积分定理22.5设3R为空间单连通区域.若函数P,个条件是等价的:Q,R在上连续,且有一阶连续偏导数,则以下四返回后页前页例5验证曲线积分()d()d()dLyzzzxyxyz与路线无关,并求被积表达式的原函数(,,).uxyz这个定理的证明与定理21.12相仿,这里不重复了.在内处处成立.,(iv),PQQRRPyxzyxz(iii)dddPxQyRz是内某一函数u的全微分,即dddd;(6)uPxQyRz返回后页前页0(,,)()d()d()d.MMuxyzyzxzxyxyz0MM0M取如图22-11,从沿平行于x轴的直线到所以曲线积分与路线无关.现在求原函数:解对于,,,PyzQzxRxy显然有1,PQQRRPyxzyxz返回后页前页0()(),xyzzxyxzyzc000000(,,)()d()d()dyxzxyzuxyzyzszxtxyr00000()()()()yzxxzxyy100(,,),Mxyz再沿平行于xyOz2211图(,,)Mxyz0000(,,)Mxyz2M1M20(,,),Mxyzy轴的直线到最后沿平行于z轴的直线到(,,).Mxyz于是返回后页前页0;c0M为原点,则得若取为任意点,则为一任c意常数.000000()cxyxzyz0M其中是一个常数.若取