无穷级数必考经典习题(附答案).pdf

1无穷级数同步测试题号一二三总分得分一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（）()A若lim0→nnu，则级数21=nnu发散.()B若级数1=nnu绝对收敛，则21=nnu收敛.()C若级数1=nnu收敛，则21=nnu收敛.()D若级数21=nnu收敛，则lim0→=nnu收敛.2．已知幂级数1(1)=−nnnax在0=x处收敛，在2=x处发散，则该级数的收敛域（）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]ABCD3．已知幂级数1=nnnax的收敛半径1=R，则幂级数0!=nnnaxn的收敛域为（）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−+ABCD4.设常数0x，则级数11(1)sin−=−nnxn（）.()A发散()B条件收敛()C绝对收敛()D收敛性与x有关二、填空题5.级数11()2=nnn的和为.26．2!lim(!)→=nnn.7．已知级数22116==nn，则级数211(1)=−=nnn.8．幂级数2101!+=nnxn的和函数()=Sx.三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数2(1)(1)=−+−nnnn是交错级数，它不是绝对收敛的.又由于1lim0(1)→=+−nnn，但1(1)=+−nnun不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)=+++nnnxxxxx的敛散性.11.求级数11(21)2=+nnnn的和.12.将2()ln(3)=−fxxx展开为1−x的幂级数.13.求极限2313521lim()2222→−++++nnn.14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−+nxxxxyxxn满足微分方程()()()++=xyxyxyxe，并求幂级数30(3)!=nnxn的和函数.第九章多元函数微分法及其应用同步测试B答案及解析一、单项选择题3题号1234答案CADB答案详细解析1.解利用级数的性质.若lim0→nnu，则2lim0→nnu，因此级数21=nnu发散，()A正确；若1=nnu绝对收敛，即1=nnu收敛，则lim0→=nnu，2limlim01→→==nnnnnuuu根据正项级数的比较审敛法知21=nnu收敛，()B正确；若级数21=nnu收敛，则2lim0lim0→→==nnnnuu，()D正确；故选()C.事实上，令1(1)=−nnun，则1=nnu收敛，但2111===nnnun发散.『方法技巧』本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法.『特别提醒』比较审敛法只限于正项级数使用.2.解由于幂级数1(1)=−nnnax在0=x处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−x，即02x内，级数绝对收敛.又级数在2=x处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−x，即0x或2x内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A.『方法技巧』本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.43.解由于1=nnnax的收敛半径1=R，则有1lim1→+=nnnaa.幂级数0!=nnnaxn的收敛半径为11!limlim(1)(1)!→→++==+=++nnnnnnaanRnaan，因此收敛域为(,)−+，故选()D.『方法技巧』本题考查幂级数的收敛半径和收敛域.由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+R.4.解由于存在充分大的n，有,sin02xxnn，所以从某时刻开始，级数1(1)sin−=−kknxk是交错级数，且满足sinsin,limsin01→=+kxxxkkk，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin−=−nnxn收敛.又由于sinlim01→=nxnxn，因此级数111(1)sinsin−==−=nnnxxnn发散，所以原级数11(1)sin−=−nnxn条件收敛，故选()B.『方法技巧』本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性.二、填空题5.26.07.212−8.2xxe答案详细解析5.解考查幂级数1=nnnx，其收敛域为(1,1)−.5由111−===nnnnnxxnx，令11()−==nnfxnx，则10011()1−=====−xxnnnnxfxdxnxdxxx因此21()()1(1)==−−xfxxx，故21()(1)===−nnxnxxfxx，所以2111112()()21222(1)2====−nnnf『方法技巧』本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n或1=n）.6.解考虑级数21!(!)=nnn，由比值审敛法212(1)!(!)1limlimlim01![(1)!]1+→→→+===++nnnnnunnunnn因此级数21!(!)=nnn收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim0(!)→=nnn.『方法技巧』本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7.解由题设222211111236==+++=nn，则2222222111111111(2)42464624====++==nnnn22222222111111111(21)35(2)6248====+++=−=−=−nnnnnn故222222222111111111(1)122234(21)6812===−=−+−+−=−=−=−−nnnnnnn『方法技巧』本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此6性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』一些同学不熟悉符号，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8.解由于函数xe的幂级数展开式为01()!==−+xnnexxn，而2122000111()!!!+=====nnnnnnxxxxxnnn因此22120011()()!!+=====nnxnnSxxxxxenn.『方法技巧』本题考查指数函数()=xfxe的幂级数展开式01()!==−+xnnexxn一般而言，若幂级数的系数为1!n时，求和时可能与指数函数xe有关；若幂级数的系数为1(21)!−n或1(2)!n时，求和时可能与三角函数sinx或cosx有关.三、解答题9.解判断条件收敛的运算过程是错误的.由于1(1)1limlimlim111(1)1→→→+−===−+nnnnnnunnnn，因此由比较审敛法知，级数21(1)=+−nnn发散，故级数2(1)(1)=−+−nnnn不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim→nnS是否存在.正确解法：21111113254212=−+−++−+nSnn由于每个括号均为负数，因此2nS单调递减，且有721111113254212=−+−++−+nSnn1111114264222−+−++−+nn1112222=−+−+n因此2lim→nnS存在，不妨设2lim→=nnSS，而21221221211limlim()limlimlim0(21)(1)++++→→→→→=+=+=+=+=++−nnnnnnnnnnnSSuSuSSSn从而得到lim→=nnSS，即级数2(1)(1)=−+−nnnn收敛，且为条件收敛.『方法技巧』本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1=nnu收敛部分和nS的极限存在，即lim→=nnSS『特别提醒』莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10.解由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim0111limlim011112→+++→→=+==+=nnnnnnnnxxxuxxxuxx故对任意的0x，原级数均收敛.『方法技巧』本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』由于x的范围不同，1lim+→nnnuu不同，故需要分别进行讨论，但8不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11.解考虑幂级数21(21)=+nnxnn由于2211(1)(23)limlim1(21)+→→++==+nnnnunnxxunn，故其收敛半径为1=R，而当1=x时，级数11(21)=+nnn均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令22111()(1)(21)(21)+====++nnnnxxSxxxnnnn则2212112(),()21−=====−nnnnxxSxSxxnx因此22002()(0)()ln(1)1−===−−−xxxSxSSxdxdxxx又(0)0=S，则2()ln(1)=−−Sxx，同理22001()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+−==−−=−−+−−xxxSxSSxdxxdxxxxx而(0)0=S，则21()ln(1)2ln1+=−−+−−xSxxxxx，故11()111122()2[ln22ln(21)]1(21)22222====−+−++nnSSnn2ln22ln(21)=+−+『方法技巧』本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n，故所做级数为21(21)=+nnxnn，此时只要令12=x，即为所求的常数项级数.『特别提醒』在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12.解2()ln(3)lnln(3)=−=+−fxxxxx91ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xxxx由于234111ln(1)(1)(1)(11)234−−=+=−+−++−+=−−nnnnnxxxxxxxxnn则11111()(1)2()ln2(1)(1)−−==−−=+−+−nnnnnnxxfxnn12111(1)(1)ln2(1)(1)2−−==−−=+−+−nnnnnnnxxnn111(1)ln2[(1)]2−=−=+−−nnnnxn且满足1111112−−−−xx，即02x.『方法技巧』本题考查形如()ln(1)=+fxx的函数展开式及收敛域11−x.首先将2()ln(3)=−fxxx化为1()ln[1(1)]ln2ln[1()]2−=+−+++xfxx，将第一项中的1−x看成标准形中的x，第二项中的12