第二型曲线积分、格林公式

第七章向量值函数的积分第二型曲线积分Green公式曲线积分与路径无关第五章多元函数微分学及其应用2设有一空间力场),,(zyxFF，一质点在力场的作用下F，沿空间光滑曲线C从A点移到B点，求力场WF所作的功。xo2AiA1-iA1AoAAnABiMzy分割：任取点列nnAAAAA,,,,121-o，把曲线段C任意分成n个有向小弧段),,2,1(1niAAii-，第i段弧iiAA1-的长度记为is。⌒⌒一、第二型曲线积分1、第二型曲线积分的概念与性质引例：变力沿曲线所作的功第五章多元函数微分学及其应用3其中),,(iiiiTT是质点在iM点处沿曲线C的单位切线向量。近似：iiiiiiAAM1),,(-，则质点沿曲线C从点1-iA移动到时iA，力场所作F的功)],,([),,(][iiiiiiiiiiiiTsFTsFW⌒xo2AiA1-iA1AoAAnABiMzyiT第五章多元函数微分学及其应用4求和：F力场所作的功的近似值为niiiiiiiiiniiTsFWW11)],,([),,(，取极限：令}{max1inisd，则F力场所作的功为niiiiiiiiidTsFW10)],,([),,(limniiiiiiiiidsTF10),,(),,(lim。第五章多元函数微分学及其应用52、第二型曲线积分的定义设C是向量场),,(zyxA所在空间中一条以A为起点，B为终点的有向光滑曲线弧。用分点BAAAAAAnn-,,,,121o，把C任意分成n个有向小弧段iiiiAAniAA11),,,2,1(--的长度记为}{max1iniisds，令，iiiiiiAAM1),,(-，作和式niiiiiiiiisTA1),,(),,(，其中),,(iiiiTT是C上点处iM相应于所给方向的单位切线向量。⌒⌒⌒如果当0d时，和式的极限总存在，则称此极限为第五章多元函数微分学及其应用6向量值函数（或向量场）),,(zyxA沿有向曲线C的第二型曲线积分，记作dszyxTzyxAC),,(),,(，即:niiiiiiiiidCsTAdszyxTzyxA10),,(),,(lim),,(),,(引例中力场所作F的功可以表示为dszyxTzyxFWC),,(),,(。可以证明，当),,(zyxA在有向光滑曲线C上连续时，dszyxTzyxAC),,(),,(必存在。第五章多元函数微分学及其应用7设向量值函数kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(，∴RdzQdyPdxdzdydxAdsTA},,{。∴第二型曲线积分也可记作CdzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(，上式是第二型曲线积分的数量形式或坐标形式，因此第二型曲线积分也叫做对坐标的曲线积分。∵},,{1},,{)()()(1222dzdydxdsdzdydxdzdydxT。第五章多元函数微分学及其应用8通常将dsdsT记为，即},,{dzdydxds，则第二型曲线积分的向量形式为CdsA。若C为平面有向光滑曲线弧，向量值函数jyxQiyxPyxA),(),(),(，则有称为ds弧长向量微元。CCdyyxQdxyxPdsA),(),(。第五章多元函数微分学及其应用93、第二型曲线积分的性质（1）CCCdsBdsAdsBA)(；（,为常数）首尾相接.与,其中2121CCCCC（2）21CCCdsAdsAdsA；（3）--CCdsAdsA。反方向的有向曲线弧。是与其中CC-设),,(zyxAA，),,(zyxBB，则（线性性质）（方向性）（对积分弧段的可加性）第五章多元函数微分学及其应用104、第二型曲线积分的计算定理1.1设有向光滑曲线弧C的参数方程为)(txx,)(tyy，)(tzz，曲线C的起点A对应t，终点B对应t，当t单调地由变到时，动点),,(zyxM描出由点A到点B的曲线弧C。设)},,(),,,(),,,({),,(zyxRzyxQzyxPzyxA在C上连续，则RdzQdyPdxdszyxACC),,(dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP)]}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{第五章多元函数微分学及其应用11注（1）当C是平面曲线，其参数方程为)(),(tyytxx时，则有CCQdyPdxdsyxA),(dttytytxQtxtytxP)}()](),([)()](),([{。（2）当平面曲线C为bxaxyy),(，ax起点，bx终点，则有CCQdyPdxdsyxA),(dxxyxyxQxyxPba)}()](,[)](,[{。公式中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线弧C的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。第五章多元函数微分学及其应用12例．计算dxxyC，其中C为抛物线xy2上从点)1,1(-A到点)1,1(B的一段弧。x2yxyo)1,1(-A)1,1(B解：方法1将所给积分化为对x的定积分来计算。∴dxxydxxydxxyOBAOC.54d)d(1001-xxxxxx方法2化为对y的定积分来计算。∴dxxyC542)(1142112--dyydyyyy。第五章多元函数微分学及其应用13例．计算曲线积分dyyxdxyxC)()(-，路径C是（1）圆弧AB；（2）折线AOB。xyo)0,1(A)1,0(Bxyo)0,1(A)1,0(BdyyxdxAByx)()()1(-ttttttt]d)cossin(cos)sin)(sin[(cos20--.1]sin2[cos220--dtttdyyxdxyxAOB)()()2(-dyyxdxyxdyyxdxyxOBAO)()()()(--.12121)(1001----dyyxdx第五章多元函数微分学及其应用14例．计算曲线积分--)dzyzdyyxdx13(2，是从点)4,3,2(A到)1,1,1(B的直线段。2dd(31)dxxyyzyz--dttttt}3]1)2(1)3[3(12)2(1){(1012--3223)8306(201-dttt解：∵直线AB的点向式方程为312111---zyx，∴参数式方程为tztytx31211，第五章多元函数微分学及其应用155、两类曲线积分之间的联系∵单位切向量}cos,cos,{cos},,{1dzdydxdsT，∴dsdxcos，dsdycos，dsdzcos。CCCdsRQPRdzQdyPdxdsTA)coscoscos(其中cos,cos,cos是C上点),,(zyx处对于所给方向的单位切向量T的方向余弦。第五章多元函数微分学及其应用16通俗地说，单连通域就是不含有“洞”(包括点“洞”)的区域。二、格林公式1、单连通区域与复连通区域若平面区域D内任一封闭曲线围成的部分都属于D，则D称为单连通区域，否则称为复连通区域。规定C的正向如下：当观察者沿C的此方向行走时，D靠近它的部分总在它的左侧。2．区域D的边界曲线C的正向DCD1C2C第五章多元函数微分学及其应用17设D是以逐段光滑曲线C为边界的平面闭区域，函数),(yxP、),(yxQ在D上具有一阶连续偏导数，则有dxdyyPxQQdyPdxDC-)(其中C是D的取正向的边界曲线。3．定理3.1（Green定理）—格林（Green）公式第五章多元函数微分学及其应用18例．计算ydxxdyxyC22-，其中C为顺时针方向的圆周222Ryx。42R-例．计算曲线积分--Cxxdymyedxmyye)cos()sin(，其中C为由点)0,(aA至点)0,0(O的上半圆周axyx22（0a）。28ma第五章多元函数微分学及其应用19例．计算ydxxdyxyC22-，其中C为顺时针方向的圆周222Ryx。yoxRC解：∵yxyxP2),(-，2),(xyyxQ，.242d)(42004322RRddxdyyxRD----错解：4222)(RdRdxdyyxDD---。在这里，不能将曲线方程代入被积函数。222Ryx22yxyPxQ-，∴ydxxdyxyydxxdyxyC2222----C第五章多元函数微分学及其应用20解：添加辅助线OA，则OAC是一条正向封闭曲线，设其围成的区域为D。例．计算曲线积分--Cxxdymyedxmyye)cos()sin(，其中C为由点)0,(aA至点)0,0(O的上半圆周axyx22（0a）。yoxC)0,(aAD原式-OAOAC2028008amdxama-。∵myyeyxPx-sin),(，,cos),(myeyxQx-myPxQ-，,cosmyeyPx-,cosyexQx∴dymyedxmyyexOACx)cos()sin(--.8)2(222amamDmd第五章多元函数微分学及其应用21例．计算-Cyxxdyydx22，其中C为：（1）不包围原点O的分段光滑闭曲线；（2）圆周222ayx；（3）包围原点O的分段光滑闭曲线。解：设闭曲线C所围的区域为D，当(,)(0,0)xy时，22yPxy-，22xQxy，22222()QyxPxxyy-，022第五章多元函数微分学及其应用22-DdxdyyPxQ0)(。公式GreenI课堂练习计算229CxdyydxIxy-，其中C是以点(2,0)A为圆心，半径为(2)RR的圆周，取逆时针方向。解：229yxyP-，229yxxQ，xQyxxyyP-22222)9(9，0-yPxQ（)0,0(),(yx）。yox)0,2(AC（1）2R当时，第五章多元函数微分学及其应用23（2）2R当时，在C所围成的区域内作正向椭圆2229:yxC，则在-CC与所围成的复连通区域D上，满足公式Green的条件，得公式Greenyox)0,2(ACC0)(---dxdyyPxQCCDCCCC∴-CyxydxxdyI229-Cydxxdy21清除奇点.3232222Ddxdy第五章多元函数微分学及其应用24三、平面曲线积分与路径无关的条件定义：设D是一个平面区域，若对D内任意两点A,B及D内从点A到点B的任意两条曲线21,CC，等式)(2)(1ABABCCQdyPdxQdyPdx或)(2)(1ABABCCdSAdSA恒成立，则称曲线积分CQdyPdx在D内与路径无关。称场(){(,),(,)}FMpxyQxy为保守场。第五章多元函数微分学及其应用25定理3.2若向量值函数)},(),,({),(yxQyxPyxA在单连通域D上有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：（1）Dyx),(，有xQyP；（2）沿D内任