直线方程x=my+b分析

★崇艺教育★高考数学★-1-直线方程x=my+b分析李鹏解析几何中，在设直线方程时，习惯于用y=kx+b的形式，但这类直线方程不能表示与x轴垂直的直线，往往需要分类讨论k的存在与否。但当直线斜率不为零时，或过x轴上某点（b,0）时，可将直线设为x=my+b(其中b为横截距），不仅可以回避直线斜率是否存在的分类讨论，而且有时能大大地简化运算，达到优化解题的目的。直线方程x=my+b的特征：1.所表示直线斜率为1/m，若直线倾斜角为α，则m=cotα.2.直线在x轴上的截距为b.3.能表示与x轴垂直的直线，但不能表示与y轴垂直（斜率为零）的直线。一、解决三角形面积的问题e.g.1：抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，AB是过焦点的弦，且直线AB的倾斜角为300求：△OAB的面积。e.g.2：过点D（2，0）的直线L交曲线C：y2=4(x-1)于P、Q两点，E点的坐标是（1，0），若△EPQ的面积为4，求直线L的倾斜角α的值。解：依题意可设直线方程为：x=my+2P(x1,y1)Q(x2,y2)联立x=my+2消去x得y2-4my-4=0y2=4(x-1)则：y1+y2=4my1·y2=-4所以：即：α=π/6或α=5π/6★崇艺教育★高考数学★-2-e.g.3:设F1,F2是椭圆2x2+3y2=6的左、右焦点,弦AB过F2.求△F1AB的面积的最大值。总结：设直线AB的方程为x=my+1,避免了对直线AB的斜率存在与不存在的讨论.本题恰好是直线AB的斜率不存在时,△F1AB达到最大值因此,在已知直线过x轴上的某点,或在要考虑斜率不存在的直线方程时,设此方程形式不仅能显示出其优越性,而且能回避陷入僵局的情形.二、用于解决点的轨迹问题e.g.4：已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，直线L过定点A（4，0），且与抛物线交于P、Q两点。①若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求抛物线C.。②在①的条件下，求动点R的轨迹方程。解：①依题意，可设直线L的方程为x=my+4联立x=my+4y2=2px消去x得：y2-2pmy-8p=0设P(x1,y1)Q(x2,y2)则：y1+y2=2pmy1y2=-8p∴x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16=-8pm2+8pm2+16=16由已知可得：即：x1x2+y1y2=0∴16-8p=0∴p=2即y2=4x②由①知，抛物线方程为y2=4x设动点R（x,y）∵F(1,0)P(x1,y1)Q(x2,y2)∴∵∴(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x-1,y)∴x-1=x1+x2-2=m(y1+y2)+6y=y1+y2由①知：y1+y2=4m代入上式有：x=4m2+7y=4m消去参数m，得动点R的方程为：y2=4x-28故：y2=4x-28为所求动点R轨迹方程。★崇艺教育★高考数学★-3-三、用于判断动直线是否过定点问题e.g.5：已知点A(x0,2)在曲线C:y2=4x上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD、AE的斜率分别为k1、k2满足k1k2=2,试判断动直线DE是否过定点并证明。四、用于解决探索性问题e.g.6：已知抛物线y2=4x，在x轴上是否存在一点P（b,0）,使得过点P任意作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点。若存在请求出b值，若不存在请说明理由。解：假设存在点P（b,0）,满足题意，设过点P（b,0）作弦为MN，直线MN的方程为x=my+b.M(x1,y1),N（x2,y2）联立x=my+b.y2=4x消去x得：y2-4my-4b=0.则：y1+y2=4my1y2=-4b∴x1x2=my1y2+bm(y1+y2)+b2=-4mb+4mb+b2=b2若以弦MN为直径的圆过原点，则有即：x1x2+y1y2=0∴b2-4b=0.解得：b=4或b=0(不合题意舍去)故，在x轴上存在着点P（4，0）满足题意。根据题设条件,选用恰当的直线方程形式是达到求简目的的重要手段,一旦灵活选用恰当的方程,就可以大大简化求解过程.当直线过圆锥曲线在x轴上的焦点或直线和圆锥曲线相交，且与x轴相交时,常常可以设出直线方程为x=my+n,这样既避免了讨论,又提高了解题速度。