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第三章概率§1随机事件的概率1.1频率与概率问题引航1.频率和概率的定义分别是什么?如何计算某一随机事件的频率?2.随机事件、必然事件、不可能事件的概率分别是多少?随机事件的频率与概率有什么区别和联系?1.随机事件的频率(1)定义:随机事件A在n次重复试验中发生了m次,则随机事件A发生的频率为________.(2)特点:①频率是一个变化量,会由于具体试验的不同而变化.②在大量重复试验时,频率会呈现出稳定性,在一个“_____”附近摆动,但随着试验次数的增加,摆动的幅度具有越来越小的趋势.nmfAn常数2.随机事件的概率(1)定义:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个_____附近摆动,即随机事件A发生的频率具有_______,这个常数叫作随机事件A的概率.(2)记法:_____.(3)范围:___________.常数稳定性P(A)0≤P(A)≤11.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)随机事件没有结果.()(2)随机事件的频率与概率一定不相等.()(3)在一次试验结束后,随机事件的频率是变化的.()(4)在条件不变的情况下,随机事件的概率不变.()【解析】(1)错误.虽然随机事件的结果事先不确定,但不等于没有结果.(2)错误.随机事件的频率与概率有时会相等.(3)错误.试验已结束,频率便可算出,不会再变化.(4)正确.在同一条件下,某一随机事件的概率是一个常数,是不变的.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)某地6月1日晴天是________事件.(2)若x,y是实数,则x+y=y+x是________事件.(3)连掷两次骰子,两次掷得的点数和是13是________事件.【解析】(1)某地6月1日可能晴天也可能不是晴天,故是随机事件.答案:随机(2)因为对任意实数x,y,都有x+y=y+x成立,故该事件是必然事件.答案:必然(3)因为连掷两次骰子,两次掷得的点数和最大是12,故该事件是不可能事件.答案:不可能【要点探究】知识点1事件的分类1.事件的分类2.判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的两个依据(1)看条件:在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生.(2)看结果:在条件S下,要判断好是否发生还是两种可能都有.有时结果比较复杂要准确理解结果包含的各种情况.3.随机事件具备的条件(1)在相同条件下观察同一个现象.(2)多次观察.(3)每一次观察的结果不一定相同,且无法预测下一次的观察结果.(4)必然事件和不可能事件可看作是随机事件的两种极端情况.【微思考】(1)随机事件的含义是什么?提示:随机事件指的是在条件S下可能发生也可能不发生的事件.(2)判断一个事件是随机事件、必然事件、不可能事件的关键是什么?提示:判断必然事件、不可能事件、随机事件的关键是在给定的条件下,判断事件是一定发生(必然事件),还是不一定发生(随机事件),还是一定不发生(不可能事件).【即时练】指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件.(1)某地2016年1月1日刮西北风.(2)手电筒的电池没电,灯泡发亮.(3)一个电影院明天的上座率超过50%.【解析】(1)“某地2016年1月1日刮西北风”在现有条件下无法确定其发生与否,所以(1)是随机事件.(2)在手电筒的电池没电的条件下,灯泡是不会发亮的,所以(2)是不可能事件.(3)电影院明天上座率超过50%,在本题条件下,无法准确得出结论,可能发生也可能不发生,故(3)为随机事件.知识点2频率与概率的关系1.频率与事件发生的可能性大小的关系频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小,但频率本身是随机的,在试验前不能确定,无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小.2.概率的性质(1)必然事件的概率为1.(2)不可能事件的概率为0.(3)随机事件A的概率为0≤P(A)≤1.必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情况.3.频率和概率的区别和联系(1)区别:频率反映的是某一随机事件出现的频繁程度,是随机的,而概率是一个客观常数,它反映了随机事件发生的可能性的大小,是一个稳定值.(2)联系:①概率是频率的科学抽象,是某一事件的本质属性,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,概率可看作频率理论上的期望值;②频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率,即概率可以用频率作近似代替,可以说,概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;③只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫作事件A的概率;④实践中常用“大量重复试验的前提下的频率值”来估计事件的概率.【微思考】(1)通过试验用频率估计概率的大小,方法多种多样,但无论选择哪种方法,它们具备的共同的特点是什么?提示:通过试验用频率估计概率的大小,方法多种多样,但无论选择哪种方法,都必须保证试验应在相同的条件下进行,否则结果会受到影响.在相同条件下,试验的次数越多,就越有可能得到较准确的估计值,但每个人所得的值并不一定相同.(2)频率和概率能相等吗?提示:频率和概率在试验中可以非常接近,但不一定相等,两者存在一定的偏差是正常的,也是经常的.【即时练】已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么可能共进行了________次试验.【解析】设共进行了n次试验,则=0.02,解得n=500.答案:50010n【题型示范】类型一频率和概率的关系【典例1】(1)某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则()A.正面朝上的概率为0.6B.正面朝上的频率为0.6C.正面朝上的频率为6D.正面朝上的概率接近于0.6(2)表一和表二分别表示甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况.表一:抽取球数目5010020050010002000优等品数目45921944709541902优等品频率表二:抽取球数目7013031070015002000优等品数目6011628263713391806优等品频率①分别计算表一和表二中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位);②若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率分别为多少?③若两厂的篮球价格相同,你打算从哪一家购货?【解题探究】1.题(1)中的数字10和6各表示什么意义?2.题(2)中的两个表格中,从试验的角度来讲第一行表示试验的次数,第二行的数据表示什么意义?选择从哪一家购物的依据是什么?【探究提示】1.10是指试验的总次数,6是正面向上这一事件发生的频数.2.第二行的数据表示篮球的质量为优等品这一事件发生的频数.应根据哪一家优等品的概率较大来选择.【自主解答】(1)选B.=0.6是此次试验正面朝上的频率而不是概率.(2)①表一:610抽取球数目5010020050010002000优等品数目45921944709541902优等品频率0.900.920.970.940.950.95表二:抽取球数目7013031070015002000优等品数目6011628263713391806优等品频率0.860.890.910.910.890.90②由①可知,抽取的篮球数不同,随机事件“篮球是优等品”的频率也不同.表一中的频率在常数0.95的附近摆动,则在甲厂随机抽取一个篮球检测时,质量检查为优等品的概率大约为0.95;表二中的频率在常数0.90的附近摆动,则在乙厂随机抽取一个篮球检测时,质量检查为优等品的概率大约为0.90.③根据概率的定义可知:概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小.因为P甲P乙,表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大,因此应该选择甲厂生产的篮球.【延伸探究】题(2)②中从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率一定是你求出来的值吗?为什么?【解析】不一定.因为在大量重复试验的前提下,事件发生的频率可以近似地作为它的概率,但我们估计出来的频率稳定值不一定是真正的频率的稳定值.【方法技巧】概率的确定方法(1)理论依据:频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小,在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.(2)计算频率:频率=.(3)得出概率:用频率估计出概率.频数试验次数【变式训练】(2014·泰安高一检测)根据省教育研究机构的统计资料,今在校中学生近视率约为37.4%,某配镜商要到一中学给学生配镜,若已知该校学生总数为600人,则该眼镜商应带眼镜的数目为()A.374副B.224.4副C.不少于225副D.不多于225副【解析】选C.根据概率相关知识,该校近视人数约为600×37.4%=224.4,结合实际情况,眼镜商应带眼镜数不少于225副.【补偿训练】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:时)进行了统计,统计结果如表所示:(1)将各组的频率填入表中.(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.分组[0,900)[900,1100)[1100,1300)[1300,1500)[1500,1700)[1700,1900)[1900,+∞)频数4812120822319316542频率【解题指南】(1)频率=频数÷总数.(2)先求出灯管使用寿命在[0,1500)的频数m,再应用公式fn(A)=求解.【解析】(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中使用寿命不足1500小时的频数是48+121+208+223=600,所以样本中使用寿命不足1500小时的频率是=0.6,即估计灯管使用寿命不足1500小时的概率为0.6.mn6001000类型二事件的综合应用【典例2】(1)将一根长度为a的铁丝随意截成三段,构成一个三角形,此事件是()A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.不能确定(2)已知f(x)=x2-2x,x∈[0,3],给出事件A:f(x)≥a.①当A为必然事件时,求a的取值范围.②当A为不可能事件时,求a的取值范围.【解题探究】1.题(1)中,截成的三段铁丝能构成三角形的条件是什么?2.题(2)中,事件A是必然事件及事件A是不可能事件与不等式的解集之间有什么关系?【探究提示】1.当截得的三段铁丝的长度满足任意两条的长度之和都大于第三条的长度时,能构成三角形.2.若事件A是必然事件,则不等式恒成立;若事件A是不可能事件,则不等式的解集为空集.【自主解答】(1)选C.当截得的三段铁丝的长度满足条件:任意两条的长度之和都大于第三条的长度时,能构成三角形,否则,不能构成三角形,故该事件为随机事件.(2)f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],所以f(x)min=f(1)=-1.又f(0)=0f(3)=3,所以f(x)max=f(3)=3,所以f(x)∈[-1,3].①当A为必然事件时,即f(x)≥a,x∈[0,3]恒成立,则a≤f(x)min=f(1)=-1,即a的取值范围是a≤-1.②当A为不可能事件时,即f(x)≥a,x∈[0,3]一定不成立,所以af(x)max=f(3)=3,即a的取值范围是a3.【方法技巧】对三种事件的定义的理解不可能事件在相应的条件下一定不可能发生,即发生概率为0;必然事件则在相应的条件下一定发生,即发生概率为1;而随机事件在一定的条件下有可能发生也有可能不发生,其概率在[0,1]内.【变式训练】(2014·徐州高一检测)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球,在不允许将球倒出来数的前提下,小亮为了估计其中的红球数,采用如下方法,先将口袋中的球摇匀,再从口袋里随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,不断重复上述过程,小亮共摸了100次,其中有10次摸到白球,因此小亮估计口袋中的红球大约有()A.45个B.48个C.50个D.55个【解析】选A.假设小亮估计口袋中的红球约有x个,则解得x=45.510x5100，【误区警示】本题中