八年级数学几何部分经典专题

一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例一．有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例：如图3：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。ABCDEFN1图12342图ABCDEFM1234ABCDE练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图5：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。五、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。ABCDEF4图ABCDNMP5图12ABCDE6图OABCD7图1234七有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE八、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。DCBA110图O10图DCBAMN（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，ABAD。求证：∠B+∠ADC=180°。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。2．通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。2．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。求证：AE=EF。(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．全等三角形综合题一1、在△AED中，∠AED=90°，EA=ED，AB⊥BC，DC⊥BC，且BC过点E，求证：BC=AB+DC.2、在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P是AB边上的一点，BD⊥CP于D，AE⊥CP，交其延长线于E，求证：DE=BD-AE3、在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD，求证：CD⊥AC4、在△ABC中，ABAC，∠BAC的平分线与BC的中垂线交于点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC，交其延长线于F，(1)求证：BE=CF(2)求证：AB+AC=2AF5、如图，△ABC的边BC的中垂线ED交△BAC的外角平分线AE于E，EF⊥AB交其延长线于E,GE⊥AC于G且ABAC，(1)求证：CG=BF(2)CA-BA=2AGABCDECABDEPABCDABCDEFMABCDEFG6、如图，△ABC中，D是BC的中点，∠EDF＝90°，求证：BE+CF＞EF．7、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．（1）若BD平分∠ABC，求证CE=12BD；（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。8、如图，在△ABC中，∠ABC=450，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AB于E,与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1)求证：BF=AC（2）求证:CE=21BF(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。ABCDEFABCDEFGHABCDE9、如图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．10、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．11、已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。ABCDEABCDEMNOABCDEF12、在△ABC中，,AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上了取点E，使CE=BD，连接DE交BC于点F，求证DF=EF。ABCDEF13、如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.求证:(1)AE=CD；(2)若AC=12cm,求BD的长.14、如图所示：AB∥CD，AD∥BC，E、F分别在分别在AB、CD上，DF=BE，AC与EF相交于点M，求证：AC、EF互相平分。ABCDEFM15、在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系，并说明理由.(2)若点M、N分别是AB、AC上的点，且BM=AN，试判断△OMN形状，并证明你的结论.BCAOMNABCDEF