高中数学-排列与排列数公式

第一章1.21.2.1第一课时排列与排列数公式把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二返回返回第一课时排列与排列数公式1．2.1排列返回返回1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中间．返回问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？提示：不是．问题2：有几种排法？提示：2种，男—师—女，女—师—男．返回2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题3：安排这项活动需分几步？分别是什么？提示：分两步，第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．问题4：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因此共有3×2＝6种排法．问题5：甲乙和乙甲是相同的排法吗？提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午．返回(1)一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素，且元素的也相同.一定的顺序完全相同排列顺序返回两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？提示：4×3＝12个．返回问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？提示：4×3×2＝24个．问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．返回排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示排列数公式＝阶乘式＝(n，m∈N＋，m≤n)特殊情况＝，＝,0！＝排列的个数n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！11AmnAmnn！n－m！AnnA0n返回1．对于排列定义的理解(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列．(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同．返回2．排列与排列数的区别“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数．“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．返回返回[例1]判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去植树和种菜；(2)选2个小组种菜；(3)选10人组成一个学习小组；(4)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；(5)10个车站，站与站间的车票．[思路点拨]解决本题的关键是要明确排列的定义，看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若有关，则是排列问题，否则就不是．返回[精解详析](1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．(2)(3)不存在顺序问题，不是排列问题．(4)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．(5)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．返回[一点通]判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：①取出的元素无重复，②取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键．返回1．下列叙述正确的是()A．排列和排列数是同一个概念B．排列和排列数有时是同一个概念C．排列与排列数没有关系D．排列数是对排列在“数”的角度的反应答案：D返回2．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)；(2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(3)某班40名学生在假期相互通信．返回解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.返回[例2]写出下列问题的所有排列：(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．[思路点拨](1)直接列举数字；(2)先画出树形图，再结合图形写出．返回[精解详析](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)画出树形图，如图所示．返回由上面的树形图知，所有的四位数为：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321，共24个四位数．返回[一点通]在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．返回3．A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为()A．3B．4C．6D．12解析：列举如下：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A.答案：C返回4．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A．6种B．9种C．11种D．23种返回共有9种不同的分配方式．解析：法一：设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行．用树状图表示，如图．返回法二：让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第一步，A先拿，有3种不同的方法；第二步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第三、四步，剩下的两个人都各有1种取法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1×1＝9种．答案：B返回[例3](12分)(1)乘积m(m＋1)(m＋2)(m＋3)…(m＋20)可表示为()A．A2mB．A21mC．A20m＋20D．A21m＋20(2)计算A59＋A49A610－A510；(3)解方程3Ax8＝4Ax－19.[思路点拨](1)逆用排列数公式的乘积形式；(2)(3)正用排列数公式即可．返回[精解详析](1)因为m，m＋1，m＋2，m＋3，…，m＋20中最大的数为m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21个，所以m(m＋1)(m＋2)(m＋3)…(m＋20)＝A21m＋20.故选D.(4分)(2)A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝9×8×7×6×5＋110×9×8×7×6×5－1＝320(8分)返回(3)由3Ax8＝4Ax－19得3×8！8－x！＝4×9！10－x！.∴3×8！8－x！＝4×9×8！10－x9－x8－x！.化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝(12分)返回[一点通](1)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计算．这样做往往会减少运算量．(2)连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数A，其中最大的数是排列元素的总个数n，而因式的个数是取出的元素个数m.返回5．已知A2x＝30，则x等于________．解析：A2x＝x(x－1)＝30，解得x1＝6，x2＝－5(舍去)．答案：6返回6．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320D．348解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.答案：D返回7．下列各式中与排列数Amn相等的是()A.n！m－n！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.nn－m＋1An－1nD．A1n·Am－1n－1返回解析：∵Amn＝n！n－m！，A1n·Am－1n－1＝nn－1！[n－1－m－1]！＝nn－1！n－m！＝n！n－m！，∴Amn＝A1n·Am－1n－1.答案：D返回1．判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列时，可以考查所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．返回2．关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式Amn＝n！n－m！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N＋，m≤n”的运用．返回点击下图进入“应用创新演练”