高等数学第六版

函数的基本概念1预备知识2集合,区间,常量与变量2.1集合,元素,关系,运算集合：指具有某种特定性质对象的全体.一般用A,B等表示.元素：组成集合的对象称为集合的元素.一般用a,b等表示.空集,Φ.元素与集合的关系：属于,不属于.a∈A,a̸∈A.集合间的关系:包含,真包含,相等.A⊆B,A⊂B,A=B.集合的运算:并,交,差,补.A∪B,A∩B,A−B,A.2.2区间区间,开区间,闭区间,半开半闭区间,无限区间.(a,b)={x|axb},[a,b]={x|a≤x≤b},(a,b]={x|ax≤b},[a,b)={x|a≤xb},(a,+∞)={x|xa},(−∞,b)={x|xb},(−∞,+∞).δ-邻域:N(x0,δ)=(x0−δ,x0+δ)={x||x−x0|δ}.去心邻域,左半邻域,右半邻域.常量与变量：在某过程中保持一定值的量为常量,可以取不同值的量为变量.3函数的概念例1圆的面积A=πr2,R0.圆的周长l=2πr,r0.自由落体运动的位移s=12gt2,0≤t≤T.3.1定义定义1设x和y是两个变量,D是一个给定数集.若∀x∈D,y按照一定法则,总有确定的数值与之对应,则称y是x的函数.记为y=f(x).x为自变量,y为因变量,D为定义域,函数值的全体W={y|y=f(x),x∈D}为函数值域.注:定义域与对应法则是函数的两个要素,它是判断两个函数是否相同的标准.如:f(x)=x−1x2−1与g(x)=1x+1不同,f(x)=x与g(x)=√x2不同,f(x)=sin2x+cos2x与g(x)=1相同,f(x)=x2+1与g(t)=t2+1相同.3.2分段函数用几个式子来表示一个函数为分段函数.如:f(x)=8:1,x0,x,x≤0的定义域为(−∞,+∞),y=|x|=8:x,x≥0,−x,x0的定义域为(−∞,+∞).例2y=sgnx=8:1,x0;0,x=0;−1,x0.定义域为D=(−∞,+∞),值域为W={−1,0,1}.例3y=[x]表示不超过x的最大整数.如:[√2]=1,[π]=3,[−1]=−1,[−3.5]=−4.该函数的定义域D=(−∞,+∞),值域为整数集.例4某商品价格按照如下规则出售:购买50件以内单价为15元,购买50件(含50件)以上按9折优惠.试建立购买金额与购买量的函数关系.解:设x为购买量,y为购买金额,则当x50时,y=15x.当x≥50时,y=0.9×15x.因此,所求的函数关系式为分段函数y=f(x)=8:15x,x50,13.5x,x≥50.u3.3参数方程及其图形通过给出自变量与参变量间的对应法则,和因变量与参变量间的对应法则,间接的给出因变量和参变量的对应法则.此种方法给出的函数称为参数方程.例5参数方程8:x=t+1,y=2t2+1表示什么函数?解:y=2(x−1)2+1.u4函数的几种特性4.1有界性,有上界,有下界,有界函数,无界性设有函数y=f(x),x∈D,X⊂D.若∃M0,使得∀x∈X,有|f(x)|≤M,则称y=f(x)在X上有界.若这样的M不存在,即对充分大的M0,都存在x1∈X,使得|f(x1)|M,则称f(x)在X上无界.若X=D,则称y=f(x)为有界函数.有界函数在几何上可以用两条平行线(平行于x轴)夹住.如：y=sinx在(−∞,+∞)内有界;f(x)=1x在(1,2)内有界,但在(0,1)内无界,由此知,有界与区间有关.4.2单调性,增函数,减函数设有函数f(x),x∈D,I⊂D.∀x1x2∈I,有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在I上单调递增;若有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在I上单调递减.注:单调性也与区间有关.如：y=x2在(−∞,+∞)内非单调,但在(0,+∞)内单调递增,在(−∞,0)内单调递减.4.3奇偶性,奇函数,偶函数,图像特征设有函数f(x),x∈D=(−l,l).若对∀x∈D,,有f(−x)=f(x),则称f(x)为偶函数.若对∀x∈D,,有f(−x)=−f(x),则称f(x)为奇函数.如：f(x)=x2是偶函数,f(x)=x3为奇函数;不满足上述两条的为非奇非偶函数,如f(x)=x2+x.判断奇偶性:f(x)=ln1+x1−x,(奇)g(x)=ln(x+√x2+1),(奇)h(x)=ex+e−x2.(偶)奇函数的图形对称于原点,偶函数的图形对称于y轴.例6证明定义在(−l,l)上的任意函数可表为一个奇函数与一个偶函数之和.证明:设f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)=g(−x),h(x)=−h(−x).所以f(−x)=g(−x)+h(−x)=g(x)−h(x).则g(x)=f(x)+f(−x)2,h(x)=f(x)−f(−x)2.所以,f(x)=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2.u4.4周期性,周期设有函数y=f(x),x∈D,若∃l̸=0使得f(x+l)=f(x)(x,x±l∈D),则称f(x)为周期函数,l为周期.（注：本书周期函数的周期均指最小正周期.）如：y=sinx,y=cosx的周期为2π.y=cos4x的周期为π2.5反函数y=f(x)→x=φ(y)→y=φ(x).图像关于y=x对称.例7求y=1−x1+x的反函数.解:首先注意到该函数的定义域是x̸=−1.经计算得,x=1−y1+y.所以反函数为y=1−x1+x.6初等函数6.1基本初等函数,定义域,值域,图形,性质A.幂函数.y=xα.定义域与α有关.y=x2,y=x−12.B.指数函数.y=ax(a0,a̸=1).定义域为(−∞,+∞).当a1时,y=ax为增函数;当0a1时,y=ax为减函数.y=ex.C.对数函数.y=logax(a0,a̸=1).定义域为(0,+∞),值域为(−∞,+∞).当a1时,y=logax为增函数;当0a1时,y=logax为减函数.y=lnx.D.三角函数,反三角函数.y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx.y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx.定义域,值域.6.2复合函数y=√1−x2.由基本初等函数y=√u,u=1−x2复合而成.定义2y=f(u),定义域为D1.又u=φ(x)的定义域为D2,值域为W2={u|u=φ(x),x∈D2},且W2∩D1̸=ϕ,则y=f(φ(x))为复合函数,u为中间变量.y=ln(x+1),y=arcsin√1−x2.6.3初等函数由基本初等函数经过有限次运算和有限次复合而成的并且可以用一个式子表示的函数叫初等函数.例如,y=√1−x2,y=rcotx2等.6.4双曲函数,反双曲函数y=sinhx=ex−e−x2,y=coshx=ex+e−x2.y=arcsinhx=ln(x+√x2+1),y=arccoshx=ln(x+√x2−1).7经济方面的应用7.1生产销售经济函数生产销售经济函数主要有以下3个:设生产(销售)x件产品所获得的收入为R,则称R为收入函数,记为R=R(x).设生产(销售)x件产品所耗费的成本为C,则称C为成本函数,记为C=C(x).设生产(销售)x件产品所获得的利润为L,则称L为利润函数,记为L=L(x).利润函数等于收入函数与成本函数之差,即L(x)=R(x)−C(x).7.2市场经济函数市场经济函数主要有两个:设某产品价格为p时社会需求为Qd,则称Qd为该产品的需求函数,记为Qd=Qd(p).设某产品价格为p时社会供给为Qs,则称Qs为该产品的供给函数,记为Qs=Qs(p).显然,通常情况下,需求函数为减函数;而供给函数为增函数.根据Qd(p)=Qs(p)可以解出p=p0.此价格为市场均衡价格.7.3建立经济函数若问题中没有给出所求经济函数的形式,一般按常规的线性函数处理.此时,成本函数C(x)=d+cx,其中d为固定成本,c0表示单位可变成本.收入函数R(x)=px,其中p为产品单价.需求函数Qd(x)=ax+b,其中a0,b为最大需求.例8某洗衣机收件为500元时,销量为2000台,降价为400元时,销量增加400台.求该洗衣机的线性需求函数.解:设线性需求函数为Qd(p)=ap+b,则由Qd(500)=2000,Qd(400)=2400得8:500a+b=2000,400a+b=2400.故a=−4,b=4000.所以所求需求函数为Qd(p)=−4p+4000.u数列的极限1数列极限的定义数列,一般项,{xn},{xn}∞n=1.8:1n9=;,8:(−1)nn9=;,8:n−1n+19=;,{1+(−1)n},{qn}.数列可以看作为定义域是正整数集的函数.当n无限增大时,xn是否会无限接近于某个数?定义1假设数列{xn}及常数A.若∀ε0,∃N,使得当nN时|xn−A|ε成立,则称A为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于A,记为limn→∞=A,或者xn→A,n→∞.否则,就称数列是发散的.数列收敛的几何意义.若limn→∞=A,则∀ε0,数列{xn}在第N项之后的所有项都在A的δ邻域N(A,δ)内,仅有有限项在此邻域之外.xx0x0−εx0+εx1x2x3xNxN+1xN+2xN+10例1讨论数列((−1)nn),((−1)n(n+1)2)的极限.解:对于数列((−1)nn),首先当n无限增大时,相应分母无限增大,初步判断(−1)nn会无限接近于0.以下证明limn→∞(−1)nn=0.∀ε0,要证(−1)nn−0=1nε.显然,只需n1ε即可.故取N=1ε,则当nN=1ε时,有(−1)nn−0ε成立.所以limn→∞(−1)nn=0.同理可得limn→∞(−1)n(n+1)2=0.u注:以上证明中的N的选取不是唯一的.当然也可以取N=1ε+100.例2证明limn→∞qn=0(|q|1).证明:∀ε0,要证|qn−0|=|q|nε.由于|q|1,所以只需nlog|q|ε即可.故取N=[log|q|ε]+1,则当nN=[log|q|ε]+1时,有|qn−0|ε成立.所以原结论成立.u注:在以上的证明中,我们总认为ε是非常小的数.如果ε1,则log|q|ε0,故[log|q|ε]≤0,则N=[log|q|ε]+1也可能是非正数,此时表明,数列{qn}的第一项都满足|qn−0|ε.例3{1+(−1)n},{qn}(|q|≥1)发散.2数列极限的性质定理1(极限的唯一性)收敛数列{xn}极限是唯一的.证明:(反证法)假设数列{xn}极限不唯一,即存在A̸=B,有limn→∞xn=A,limn→∞xn=B.不妨假设AB.则取ε=A−B2,由limn→∞xn=A得存在N1使得当nN1时,|xn−A|ε=A−B2,即A+B2xn3A+B2.(1)同理,有limn→∞xn=B得存在N2使得当nN2时,|xn−B|ε=A−B2,即3B−A2xnA+B2.(2)故当nmax(N1,N2)时,由(1)和(2)可得矛盾.所以原命题成立.u定义2(数列的有界性)对于数列{xn},如果存在常数M≥0,使得|xn|≤M,∀n,则称数列{xn}有界.显然,这个定义和下列定义是等价的.定义3对于数列{xn},如果存在常数M≥0和N,使得当nN时|xn|≤M,则称数列{xn}有界.定理2(极限数列的有界性)收敛数列必有界.证明:假设数列{xn}的极限为A,即limn→∞xn=A.则由极限的定义,取ε=1,存在N,使得当nN时,|xn−A|ε=1,所以|xn||A|+1,nN.取M=max|A|+1,|x1|,|x2|,···,|xN|,则有|xn|≤M,∀n.u注:以上定