直线和圆的方程

七、直线和圆的方程1．直线的方程直线的倾斜角：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。说明：当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。直线的截距：若直线l与x轴、y轴的交点分别为（a，0)、（0,b），则a和b分别叫做直线l在x轴和y轴上的截距。直线的方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx（使用范围：不包括y轴和平行于y轴的直线）注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1；当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b（使用范围：不包括y轴和平行于y轴的直线）③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx（使用范围：不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线）④截矩式：1xyab（使用范围：不包括过原点的直线和平行于坐标轴的直线）其中直线l与x轴交于点(,0)a，与y轴交于点(0,)b，即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。⑤一般式：0CByAx（使用范围：A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：1）平行于x轴的直线：by（b为常数）；2）平行于y轴的直线：ax（a为常数）。2．两条直线的位置关系两直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合。两直线的几种位置关系直线方程位置关系111:bxkyl222:bxkyl0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl重合k1=k2且b1=b2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0平行k1=k2且b1≠b2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0点到直线的距离①一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd②两条平行直线0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl之间的距离直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyAxB（C为常数）（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。有关对称性问题（1）点与点关于直线对称点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）关于直线l：0CByAx对称，则有（2）直线与直线关于点对称直线l：0CByAx关于点P（x1，y1）的对称直线l：的方程为（3）直线与直线关于直线对称直线l：0CByAx关于直线l0：A0x+B0y+C0=0的对称直线l的方程，可由（1）求l上任意一点关于l0的对称点必在l上的方法求l的方程。3．圆的方程圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。圆的标准方程：222rbyax，圆心ba,，半径为r。特别的，当圆心在原点时，方程为x2+y2=r2（其中r0），当r=1时，即方程x2+y2=1为单位圆。圆的一般方程：022FEyDxyx（A=C≠0，B=0）当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。常见的圆系方程求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。4．直线与圆、圆与圆的位置关系点与圆的位置关系若圆222:rbyaxC，那么点P（xo，yo）在直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离（求圆上的动点到直线的最大或最小距离），相切（求切线方程），相交（求弦长）三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，则圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有①相离与Clrd；②相切与Clrd；③相交与Clrd。（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2圆与圆的位置关系通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC①当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；②当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；③当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；④当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；⑤当rRd时，两圆内含；⑥当0d时，为同心圆。注意：1）已知圆上两点，圆心必在中垂线上；2）已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点；3）若圆外有一点P（x0，y0）向圆引切线方程，必须注意有时其中一条的切线斜率不存在的情况。直线与圆常用的几何性质：半径、直径、弦长、半弦长、弦心距等。两圆的公切线①相离：四条公切线②外切：三条公切线③相交：两条公切线④内切：一条公切线⑤内含：无