第五讲二次函数与一元二次方程和一元二次不等式二次函数2(0)yaxbxca是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时,函数在2bxa处取得最小值244acba,无最大值;当0a时,函数在2bxa处取得最大值244acba,无最小值.方程与函数不仅是初中数学中的重要内容,也是高中数学学习的重要内容,方程与函数之间存在着密切的联系,二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解,课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题,研究当自变量x在某个范围内取值时,函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.【例1】已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程220xxm的解为.利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1,因此,方程220xxm的解为3和-1。【例2】二次函数2(0yaxbxcaabc,,,是常数)中,自变量x与函数y的对应值如下表:x1120121322523y2141742741142(1)判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标.(2)一元二次方程20(0axbxcaabc,,,是常数)的两个根12xx,的取值范围是下列选项中的哪一个.①12130222xx,②12151222xx,③12150222xx,④12131222xx,分析:本题以表格的形式给出二次函数2yaxbxc的部分对应值,解题时可以选定三对值,求出二次函数解析式,再判断开口方向,求出顶点坐标。但这样去做计算量较大,观察表格的特征发现,与1x等距离的x对应的函数值相等,所以直线1x是抛物线的对称轴,因此抛物线的顶点坐标为(1,2);观察表格发现:当1x时,y随着x的增大而减小,当1x时,y随着x的增大而增大,所以抛物线的开口向下。(2)一元二次方程20(0axbxcaabc,,,是常数)的根即为抛物线2yaxbxc与x轴交点的横坐标,观察表格发现:12与0之间一定有一个x的值,使2yaxbxc=0;2与52之间一定有一个x的值,使2yaxbxc=0,所以20axbxc的两根12xx,的取值范围是12150222xx,,故答案为③【例3】已知函数2yaxbxc的图象如图所示,那么关于x的方程220axbxc的根的情况是()A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根分析:本题以图象的形式给出信息,要判断关于x的方程220axbxc的根的情况,因为220axbxc可化为22axbxc,即22yaxbxc,所以,方程220axbxc的根即为抛物线与直线y=-2的交点横坐标,作直线y=-2,观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限,因此交点横坐标都为正,故答案为D。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标。【例4】二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程20axbxc的两个根.(2)写出不等式20axbxc的解集.(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.(4)若方程2axbxck有两个不相等的实数根,求k的取值范围.分析:本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。(1)方程20axbxc的根即抛物线2(0)yaxbxca与x轴交点的横坐标,观察图象得方程xy3322114112O20axbxc的两根为11x,23x;(2)不等式20axbxc的解集即抛物线2(0)yaxbxca位于x轴上方的那一段的x的范围,观察图象得不等式20axbxc的解集为13x;(3)抛物线的增减性是以对称轴为界,抛物线的对称轴为2x,结合图象得对称轴右边y随x的增大而减小,所以2x;(4)方程2axbxck的解为抛物线2(0)yaxbxca与直线yk的交点,所以当2k时,抛物线与直线有两个交点,即方程2axbxck有两个不相等的实数根的k的取值范围是2k。【例5】当22x时,求函数223yxx的最大值和最小值.解:作出函数的图象.当1x时,min4y,当2x时,max5y.【例6】当12x时,求函数21yxx的最大值和最小值.解:作出函数的图象.当1x时,min1y,当2x时,max5y.由上述两例可以看到,二次函数在自变量x的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量x的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况:【例7】当0x时,求函数(2)yxx的取值范围.解:作出函数2(2)2yxxxx在0x内的图象.可以看出:当1x时,min1y,无最大值.所以,当0x时,函数的取值范围是1y.【例8】当1txt时,求函数21522yxx的最小值(其中t为常数).解:函数21522yxx的对称轴为1x.画出其草图.(1)当对称轴在所给范围左侧.即1t时:当xt时,2min1522ytt;(2)当对称轴在所给范围之间.即1101ttt时:当1x时,2min1511322y;(3)当对称轴在所给范围右侧.即110tt时:当1xt时,22min151(1)(1)3222yttt.综上所述:2213,023,0115,122ttytttt在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题:课后自我检测A组1.抛物线2(4)23yxmxm,当m=_____时,图象的顶点在y轴上;当m=_____时,图象的顶点在x轴上;当m=_____时,图象过原点.2.用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为________.3.求下列二次函数的最值:(1)2245yxx;(2)(1)(2)yxx.4.求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值,并求对应的x的值.5.对于函数2243yxx,当0x时,求y的取值范围.6.求函数23532yxx的最大值和最小值.7.已知关于x的函数22(21)1yxtxt,当t取何值时,y的最小值为0?8.若不等式02cbxx的解为-1x2,则=_____,=______9.当直线0byax在两点P(1,1),Q(2,1)之间通过时,求实数ba,满足的关系式_______10.二次方程22(1)20xaxa,有一个根比1大,另一个根比1小,则a的取值范围是11.已知函数2(0)yaxbxca的图象经过点(1,3)和(1,1)两点,若01c,则a的取值范围是12.若方程05)2(2mxmx只有正根,则m的取值范围是B组1.已知关于x的函数222yxax在55x上.(1)当1a时,求函数的最大值和最小值;(2)当a为实数时,求函数的最大值.2.函数223yxx在0mx上的最大值为3,最小值为2,求m的取值范围.3.设0a,当11x时,函数21yxaxb的最小值是4,最大值是0,求,ab的值.4.已知函数221yxax在12x上的最大值为4,求a的值.5.求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最大值(t为常数).6.已知关于的不等式02txx对Rx恒成立,则的取值范围是_____7.不等式2(2)2(2)40axax对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是8.一元二次不等式220axbx的解是1123x,则ab的值是