数学建模及典型案例分析

6层次分析法1.层次分析法的基本原理2.层次分析法的一般步骤3.城市空气质量分析4.层次分析法在求解某些优化问题中的应用层次分析法是由美国数学家T.L.Saaty于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法。层次分析法的基本思路是：在决策过程中，首先把复杂问题分解成因素，然后把这些因素按支配关系分组形成有序的递阶层次结构，并衡量各方面的影响，最后综合人的判断，以决定决策诸因素相对重要性的先后优劣次序，这就是。6.1层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测试原理和排序原理。(1)递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等。按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系。选拔干部品德才能资历侯选人1侯选人2侯选人3侯选人4侯选人5侯选人6年龄群众关系目标层准则层方案层选拔队员数学知识Y11数学定理Y12数学推理接受能力Y21接受新知识Y22接受新方法建模能力Y31创新能力Y32想像能力Y33洞察能力团队协作Y41分工Y42合作计算机应用Y51数学软件Y52算法设计Y53排序软件写作Y61语言准确Y62语言精练目标层准则层方案层子准则层队员1队员2队员3队员4队员5…队员n(2)测度原理(3)排序原理层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题。设由元素两两比较得到的更要性测度表示为判断矩阵：显然，判断矩阵具有性质称满足此性质的矩阵为正互反阵。若一个n阶正互反阵A满足：则称A为一致性矩阵。nnijaA)(jiijijaaa1,0.,...,2,1,,,nkjiaaaikjkij若判断矩阵A为一致矩阵，则各元素的权重可由A的最大特征值(主特征值)λmax所对应的特征向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)(主特征向量,归一化后的)来确定。定理1对于正矩阵A,1)A的最大特征根是正单根λ;2)λ所对应的特征向量ω为正的.定理2n阶正互反矩阵A的最大特征根λ≥n;当λ=n时A是一致阵.层次分析法的一般步骤1.分析系统中各因素间的关系,建立层次结构模型。2.由上而下,对每一层构造两两比较矩阵,并做一致性检验。3.计算各层中各元素的权重4.计算最后一层对于目标的组合权重。6.3城市空气质量分析城市二氧化硫SO2悬浮颗粒物SPM氮氧化物NOX一氧化碳CO曼谷!!!!!!!北京!!!!!!!!加尔各答!!!!!!德里!!!!!!卡拉奇!!!!!!!!雅加达!!!!!!马尼拉!!!!!!!孟买!!!!!!汉城!!!!!!!!上海!!!!!!!东京!!!!模型假设在上面的表格中,我们可以看到有许多城市的各项数据都相同,虽然!,!!,!!!只是实际数据与WHO标准的比较所得到的,而这些原始数据并不一定完全相同,但是为了简化问题,我们在这里做如下假设.a.表格中的数据具有权威,值得相信,具有使用价值.b.不同城市的!,!!,!!!所代表的污染程度相同,不再加以区分.c.由表格中的数据可得到相对污染程度!/!=1,!!/!!=1,!!!/!!!=1,!!!/!=5,!!!/!!=4,!!/!=3;这样,问题就由11个城市的排名问题简化成6个城市的排名问题.6个城市的空气质量城市二氧化硫SO2悬浮颗粒物SPM氮氧化物NOX一氧化碳CO曼谷!!!!!!!北京!!!!!!!!加尔各答!!!!!!雅加达!!!!!!上海!!!!!!!东京!!!!建模城市排名SO2SPMNOxCO目标层准则层方案层曼谷北京加尔各答雅加达上海东京层次结构图准则层的两两比较矩阵SO2SPMNOXCOSO21314SPM1/311/32NOX1314CO1/41/21/41λmax=4.0206,CI=0.0069,RI=0.9,CR=0.00770.1ω1=(0.3849,0.1428,0.3849,0.0874)方案层两两比较矩阵曼谷北京加尔各答雅加达上海东京曼谷11/5111/31北京515545加尔各答11/5111/31雅加达11/5111/31上海3¼3313东京11/5111/31SO2λmax=6.0881,CI=0.0176,RI=1.24,CR=0.01420.1ω21=(0.0789,0.4748,0.0789,0.0789,0.2049,0.0789)方案层两两比较矩阵曼谷北京加尔各答雅加达上海东京曼谷111115北京111115加尔各答111115雅加达111115上海111115东京1/51/51/51/51/51SPMλmax=6,CI=0,RI=1.24,CR=00.1ω22=(0.1923,0.923,0.1923,0.923,0.1923,0.0385)方案层两两比较矩阵曼谷北京加尔各答雅加达上海东京曼谷133133北京1/3111/311加尔各答1/3111/315雅加达133133上海1/311111东京1/3111/311NOxλmax=6,CI=0,RI=1.24,CR=00.1ω22=(0.3,0.1,0.1,0.3,0.1,0.1)方案层两两比较矩阵曼谷北京加尔各答雅加达上海东京曼谷1111/311北京1111/311加尔各答1111/311雅加达333133上海1111/311东京1111/311COλmax=6,CI=0,RI=1.24,CR=00.1ω22=(0.125,0.125,0.125,0.375,0.125,0.125)组合权向量SO2(0.3849)SPM(0.1428)NOx(0.3849)CO(0.0874)总权值曼谷0.07890.12930.30.1250.1843北京0.47480.12930.10.1250.2597加尔各答0.07890.12930.10.1250.1073雅加达0.07890.12930.30.3750.2063上海0.20940.12930.10.1250.1575东京0.07890.03850.10.1250.0853组合一致性检验:CR=(0.2949×0.0176+0.1428×0+0.3849×0+0.0879×0)/1.24=0.0054630.1例1选拔干部方案层的两比较矩阵为13212/13/112/13/14/12/1212/13/113212/124321)1(A1.00074.0)1(maxnRInCR2147.00738.01209.02147.03760.0)1(w0331.5)1(max选拔干部品德0.3760才能0.2147资历0.1209侯选人1侯选人2侯选人3侯选人4侯选人5侯选人6年龄0.0738群众关系0.2147目标层准则层方案层目标层的两比较矩阵16/15/12/13/13/1615/6322/356/512/53/54/523/15/213/22/132/15/32/314/333/25/423/41)2(1A品德T)2(1)2(max]0504.0,2874.0,2395.0,0958.0,1437.0,1832.0[,0015.0,0092.6wCR12512131252153556541351212341215121161436526132245434231才能T)2(2)2(max]72876,0.191,0.0514,0.397,0.12670.1029,0.2[,0.0044,0275.6wCR资历T)2(3)2(max]92132,0.128,0.2037,0.150,0.15830.1809,0.1[,0.0647,4013.6wCR131343532131121112121121143121452531154152232112251年龄T)2(4)2(max]0.24260.1340,0.2681,0.1340,0.1540,0.0670,[,0.0087,054.6wCR1121214121421112112111211242212121112112412121群众关系T)2(5)2(max]22670,0.160,0.1776,0.136,0.07480.1068,0.2[,0.0373,231.6wCR11221225232141454312141115132111454352545541533234334351组合权向量为T)1()2(5)2(4)2(3)2(2)2(1)1()2(0)2628,0.128,0.1836,0.766,0.10830.1407,0.1(2147.00738.01209.02147.03760.00.16020.24260.12890.19170504.00.26700.13400.21320.28762874.00.17760.26810.20370.05142395.00.07480.13400.15830.12670958.00.21360.15400.11500.23971437.00.10680.06700.18090.10291832.0目标层准则层方案层