圆与方程单元测试题及答案

(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1，－1B．2，－2C．1D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0x－2y＋10＝0C．x－6y＋10＝0D．2x＋6y－10＝05．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是()A．(－3,3，－1)B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1)D．(3,3,1)6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝()A．5C．107．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()或－3和－28．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4B．3C．2D．19．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0D．x－2y＋3＝010．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9πB．πC．2πD．由m的值而定11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝112．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．(0，512)B．(512，＋∞)C．(13，34]D．(512，34]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．14．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．21．(12分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．22．(12分)已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．答案：1.解析：将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距0－32＋0－42＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案：C2.解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y＋21＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案：A3.解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a＋0＋1|1＋a2＋1＝1，即|a＋2|＝a＋12＋1，平方整理得a＝－1.答案：D4.解析：∵点M(2，6)在圆x2＋y2＝10上，kOM＝62，∴过点M的切线的斜率为k＝－63，故切线方程为y－6＝－63(x－2)，即2x＋6y－10＝0.答案：D5.解析：点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6.解析：依题意得点A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)．∴|AC|＝－2－12＋－2＋22＋－5＋32＝13.答案：B7.解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线y＝kx＋1的距离为12，∴11＋k2＝12，∴k＝±3.答案：C8.解析：两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝2＋22＋5－22＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B9.解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：A10.解析：∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案：B11.解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋32，y＝y12，∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.答案：C12.解析：如图所示，曲线y＝1＋4－x2变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)，当直线l与半圆相切时，有|－2k＋4－1|k2＋1＝2，解得k＝512.当直线l过点(－2,1)时，k＝34.因此，k的取值范围是512k≤34.答案：D13.解析：圆心(0,0)到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.答案：414.解析：r＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝215.解析：已知方程配方得，(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)，圆心坐标为(－a，a)，它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．答案：②16.解析：由x2＋y2－6x－2y－15＝0，得(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝|3＋2×1|5＝5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝45.答案：4517.解：解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即yx·yx－4＝－1，即x2＋y2－4x＝0①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义知，P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18.解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)，∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0，解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19.解：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点的坐标是方程组x2＋y2－3x－3y＋3＝0x2＋y2－2x－2y＝0的解，两方程相减得：x＋y－3＝0，∵A、B两点的坐标都满足该方程，∴x＋y－3＝0为所求．将圆C2的方程化为标准形式，(x－1)2＋(y－1)2＝2，∴圆心C2(1,1)，半径r＝2.圆心C2到直线AB的距离d＝|1＋1－3|2＝12，|AB|＝2r2－d2＝22－12＝6.即两圆的公共弦长为6.20.解：如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.设P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝2.∵|PM|＝|PO|，∴x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2，化简得点P的轨迹方程为：2x－4y＋3＝0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为3510.21.解：设点P的坐标为(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2.欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC，设其交⊙C于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图所示．则u最小值＝|OP1|2＝(|OC|－|P1C|)2＝(5－1)2＝16.此时，x13＝y14＝45，∴x1＝125，y1＝165.∴d的最小值为34，对应点P1的坐标为125，165.同理可得d的最大值为74，对应点P2的坐标为185，245.22.解：(1)证明：原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2∵k≠－1，∴5(k＋1)20.故方程表示圆心为(－k，－2k－5)，半径为5|k＋1|的圆．设圆心的坐标为(x，y)，则x＝－k，y＝－2k－5，消去k，得2x－y－5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．(2)证明：将原方程变形为(2x＋4y＋10)k＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0，∵上式对于任意k≠－1恒成立，∴2x＋4y＋10＝0，x2＋y2＋10y＋20＝0.解得x＝1，y＝－3.∴曲线C过定点(1，－3)．(3)∵圆C与x轴相切，∴圆心(－k，－2k－5)到x轴的距离等于半径，即|－2k－5|＝5|k＋1|.两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，∴k＝5±35.