2015-2017数列全国卷高考真题教师版

12015-2017年全国卷数列真题1、（2015全国1卷17题）nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，2nnaa=43nS.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa,求数列{nb}的前n项和.【答案】（Ⅰ）21n（Ⅱ）11646n【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{na}的递推公式，可以判断数列{na}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{na}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{nb}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.试题解析：（Ⅰ）当1n时，211112434+3aaSa，因为0na，所以1a=3，当2n时，2211nnnnaaaa=14343nnSS=4na，即111()()2()nnnnnnaaaaaa，因为0na，所以1nnaa=2，所以数列{na}是首项为3，公差为2的等差数列，所以na=21n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nb=1111()(21)(23)22123nnnn，所以数列{nb}前n项和为12nbbb=1111111[()()()]235572123nn=11646n.2、（2015全国2卷4题）已知等比数列na满足a1=3，135aaa=21，则357aaa（）A．21B．42C．63D．84【解析】设等比数列公比为q，则2411121aaqaq，又因为13a，所以4260qq，解得22q，所以2357135()42aaaaaaq，故选B．考点：等比数列通项公式和性质．3、（2015全国2卷16题）设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．2【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nSnn，所以1nSn．考点：等差数列和递推关系．4、（2016全国1卷3题）已知等差数列na前9项的和为27,108a,则100a（）（A）100（B）99（C）98（D）97试题分析：由已知,1193627,98adad所以110011,1,9919998,adaad故选C.考点：等差数列及其运算5、（2016全国2卷15题）设等比数列na满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．【答案】64试题分析：设等比数列的公比为q,由1324105aaaa得,2121(1)10(1)5aqaqq,解得1812aq.所以2(1)1712(1)22212118()22nnnnnnnnaaaaq,于是当3n或4时,12naaa取得最大值6264.考点：等比数列及其应用6、（2016全国2卷17题）nS为等差数列na的前n项和，且11a，728S．记lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg991．（Ⅰ）求1b，11b，101b；（Ⅱ）求数列nb的前1000项和．【解析】⑴设的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．⑵记的前项和为，则nad74728Sa44a4113aad1(1)naandn11lglg10ba1111lglg111ba101101101lglg2banbnnT1000121000Tbbb3．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．7、（2016全国3卷17题）已知数列{}na的前n项和1nnSa，其中0．（I）证明{}na是等比数列，并求其通项公式；（II）若53132S，求．由01a，0得0na，所以11nnaa.因此}{na是首项为11，公比为1的等比数列，于是1)1(11nna．（Ⅱ）由（Ⅰ）得nnS)1(1，由32315S得3231)1(15，即5)1(321，解得1．考点：1、数列通项na与前n项和为nS关系；2、等比数列的定义与通项及前n项和为nS．【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1nnaqa（常数）；（2）中项法，即证明121000lglglgaaa0lg1na≤129n，，，1lg2na≤101199n，，，2lg3na≤100101999n，，，lg3na1000n1000091902900311893T4212nnnaaa．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．8、（2017年国1卷4题）记nS为等差数列na的前n项和，若4562448aaS，，则na的公差为（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】45113424aaadad61656482Sad联立求得11272461548adad①②3①②得211524d624d4d∴选C9、（2017年国1卷12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：100N且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n组的项数为n，则n组的项数和为12nn由题，100N，令11002nn→14n≥且*nN，即N出现在第13组之后第n组的和为122112nnn组总共的和为2122212nnnn若要使前N项和为2的整数幂，则12nnN项的和21k应与2n互为相反数即*21214knknN，≥2log3kn→295nk，则2912954402N故选A10、（2017全国2卷3题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式na及其前n项和nS，以考查考生的运算能力为主目的.【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即7381S；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即2q，塔的5顶层为1a；由等比前n项和1111nnaqSqq可知：171238112naS，解得13a.11、（2017全国2卷15题）等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS．【命题意图】本题主要考查等差数列通向公式na及其前n项和以及叠加法求和，【解析】∵410S，2314aaaa，∴235aa∵33a，∴22a∴nan∵12nnnaaS∴21nSnn∴1211211nSnnnn∴11122111ninnSnn∴112,1ninnnNSn【知识拓展】本题不难，属于考查基础概念，但有一部分考生会丢掉nN这个条件，此处属于易错点.12、（2017全国3卷9题）等差数列na的首项为1，公差不为0．若2a，3a，6a成等比数列，则na前6项的和为（）A．24B．3C．3D．8【答案】A【解析】∵na为等差数列，且236,,aaa成等比数列，设公差为.则2326aaa，即211125adadad又∵11a，代入上式可得220dd又∵0d，则2d∴61656561622422Sad，故选A.13、（2017全国3卷14题）设等比数列na满足121aa，133aa，则4a________．【答案】8【解析】na为等比数列，设公比为．121313aaaa，即1121113aaqaaq①②，显然1q，10a，②①得13q，即2q，代入①式可得11a，3341128aaq．数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必6有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，1.等差数列通向公式na及其前n项和nS；2.等比数列通向公式na及其前n项和nS.