不等式知识点汇总-修改后

/101不等式一、不等式的性质1、对称性：如果ba，那么ab；如果ab，那么ba。2、传递性：如果ba，cb那么ca。3、加法单调性：如果ba，那么cbca。推论1：如果ba且dc，那么dbca。（相加法则）推论：如果ba且dc，那么dbca。（相减法则）4、乘法单调性：如果ba且0c,那么bcac；如果ba且0c那么bcac。推论1：如果0ba且0dc，那么bdac。（相乘法则）如果0ba且dc0，那么dbca。（相除法则）推论2：如果0ba,那么nnba)1(nNn且。5、性质5：如果0ba，那么nnba)1(nNn且。二、算术平均数、几何平均数、基本不等式1、如果123,,,,naaaaRL，2,nnN，则：12naaanL叫做这n个正数的算术平均数；123nnaaaaL叫做这n个正数的几何平均数。2、基本不等式：不等式1如果Rba,，那么222abab（当且仅当ba时取“=”）；注：22222()0202ababababab，然后a=b时2()0ab，所以等号成立。不等式2如果ba,是正数，那么baabbaba1122222（其中211ab称作调和平均值）（当且仅当ba时取“=”）；不等式3如果Rcba,,，那么abccba3333（当且仅当cba时取“=”）；也可以推出1n(a1+a2+……+an)≥12nnaaa(aiR+,i=1,2,…，n)，当且仅当a1=a2=…=an取等号。不等式4如果Rcba,,，那么33abccba（当且仅当cba时取“=”）。/102不等式52224()2(),,ababababR（当且仅当ab时等号成立）。注：22222222()020224()4abababababababababab；222222222()2()ababababab这里有用到不等式1。不等式6222abcabbcca（当且仅当abc时等号成立）注：222222222222abbcacabbcacabc也是用到了性质1。三、极值定理已知yx,都是正数，则：1、如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2；2、如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s。四、不等式的证明方法1、比较法：（做差、做商）这是最常用的证明不等式的方法，一定要记住！【例1】：已知a,b,m都是正数，并且ab，求证：bambma。证明：)()()()()(mbbabmmbbmbamabbambma∵,,abm都是正数，并且ab，∴bm0，ba0∴0)()(mbbabm即：bambma。【例2】：设a,bR+，求证：2)(babaabba。证明：作商得，2222)()(baabbababababaabba当a=b时，1)(2baba，当ab0时，1)(,02,12babababa，当ba0时，1)(,02,102babababa，/103∴2)(babaabba。2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式。【例3】：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。证明：∵b2+c2≥2bc,a0,∴a(b2+c2)≥2abc同理：b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc当且仅当b=c，c=a，a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc3、分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。【例4】：设x0，y0，证明不等式：31332122)()(yxyx。证明：所证不等式即：233322)()(yxyx即：33662222662)(3yxyxyxyxyx即：3322222)(3yxyxyx只需证：xyyx3222∵xyxyyx32222成立，∴31332122)()(yxyx4、换元法【例5】：求证：211212xx。证明：∵11x∴令cosx，0,∵212)1()1(1|||1|2222222xxxxxxxx，即：21|1|2xx∴211212xx5、放缩法这一类型比较灵活，记住一些放缩规则很重要。比如分子不变，分母变大（小），分数变小（大）；相反分母不变，分子变小（大），分数变小（大）。常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnnnnnnnn11111121kkkkkkkkk/104【例6】：2,nnN，求证222111123nL证明：21111(1)1nnnnnQ222111111111111232231nnnnLL6、反证法【例7】：设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于41。证明：设(1a)b41,(1b)c41,(1c)a41，则三式相乘：ab(1a)b•(1b)c•(1c)a641①又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa，同理：41)1(bb,41)1(cc，以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾，∴原式成立。7、构造法（构造函数、构造方程、构造图形）【例8】：求证：31091022xxy证明：设)3(92txt则ttytf1)(2，用定义法可证：f(t)在),3[上单调递增，令：3≤t1t2则0)1)((11)()(21212122212121tttttttttttftf，∴310313)3(910322fxxy。【例9】：已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。证明：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a0，则abcacb2即b,c是二次方程022aaxx的两个实根。∴082aa即：a≥2。/105【例10】：已知平面坐标系内有112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy三点，且该三点不在同一直线上。求证：222212121313()()()()xxyyxxyy＞222323()()xxyy证明：由题可知，221212()()ABxxyy，222323()()BCxxyy，221313()()ACxxyy，又因为这三点不在同一直线上，所以这三点可以构成三角形，ABAC＞BC（两边和大于第三边）即222212121313()()()()xxyyxxyy＞222323()()xxyy。五、不等式的解法：（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：ax2+bx+c0对于任意的x恒成立20040aabac或检验；ax2+bx+c0对于任意的x恒成立20040aabac或检验（2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系①求一般的一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集，要结合20axbxc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集．②对于一元二次方程20(0)axbxca，设24bac，它的解按照000，，可分为三种情况．相应地，二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20axbxc(0)a的解集，列表如下：/106含参数的不等式应适当分类讨论。(3)一元二次不等式【例11】：解不等式652xx。解：256(3)(2)xxxx＜0，解得2＜x＜3。【例12】：解关于x的不等式0)1(2aaxx。解：原不等式可以化为：0))(1(axax，若)1(aa即21a则ax或ax1，若)1(aa即21a则0)21(2xRxx,21，若)1(aa即21a则ax或ax1。(4)高次不等式与分数不等式分数不等式()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx高数不等式也可以用穿针引线法——奇过偶不过【例13】：解不等式0)2)(54(22xxxx。/107解：∵022xx恒成立∴原不等式等价于0542xx即-1x5。【例14】：解不等式0322322xxxx。解：3211312103202322xxxxxxxxx或或或者312103202322xxxxxxx或∴3211xx或(5)：无理不等式：转化为有理不等式求解()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域0)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或2)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf【例15】：解不等式0343xx。解：∵根式有意义∴必须有：303043xxx，∵原不等式可化为343xx两边平方得：343xx解之：21x，3x。(6)、指数不等式与对数不等式这一类不等式主要用到了函数的一些性质，解决这一类问题首先要对函数的性质十分了解。指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx【例16】：解不等式)1(332)21(22xxx。解：原不等式可化为：)1(332222xxx∵底数21，/108∴)1(3322xxx整理得：062xx解得，不等式的解集为{x|-3x2}【例17】：解关于x的不等式：)1,0(,2log)12(log)34(log2aaxxxaaa。解：原不等式可化为)12(2log)34(log2xxxaa，当a1时有221234121)12(23403401222xxxxxxxxxx当0a1时有42234121)12(23403401222xxxxxxxxxxx或∴当a1时不等式的解集为221x；当0a1时不等式的解集为42x。(7)：含绝对值的不等式绝对值在几何上表示的是距离，所以有的时候可以用几何图形（如