极值点偏移(自主整理)-答案

极值点偏移专题第1页共16页极值点偏移问题答案一、典型例题类型1：不含参极值点偏移问题1.（2010年天津）已知函数Rxxexfx)(，如果21xx且)()(21xfxf，证明：221xx解法一：构造函数：解：xexxf1)(，则)(xf在1,上递增，在，1上递减，则efxf1)1()(max，如图要证221xx，即证122xx，不妨设21xx，则2110xx1212xx，又)(xf在，1上递减，则只需证)2()(12xfxf又)()(12xfxf，则等价证)2()(11xfxf，证明如下：设1,0)2()()(xxfxfxg，则)2()()(xfxfxg2211)(xxeexxg，又1,0x，则0)(xg，则1,0)(在xg递增0)1()(gxg，则0)(xg得证，则221xx点评：构造函数的目的就是为了消参，将双变量转化为单变量处理，利用构造函数求最值证明不等式恒成立解法二：对数均值不等式法解：)()(12xfxf，则2121xxexex，则1221xxexx①，对①式两边取e为底的对数则有1212lnlnxxxx由对数均值不等式有1lnln2212121xxxxxx，则221xx，对数均值不等式证明如下:要证：bababalnln2，不妨设ba，即证bababa)(2lnln1112ln:112ln:baxxxxbababa证证1112ln)(xxxxxg构造函数，又222)1()1()1(41)(xxxxxxg，又1x，则0)(xg恒成立)(xg在,1上递增，则0)1()(gxg，则对数均值不等式得证，则221xx成立点评：①构造对数均值不等式的结构；②证对数均值不等式注意消元，肖元时用到了整体法极值点偏移专题第2页共16页解法三：直接构造函数消元解：)()(12xfxf，则2121xxexex，则1221xxexx①，对①式两边取e为底的对数则有1212lnlnxxxx12121212122112122121ln11lnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（整体法销元）不妨设21xx，则112xxt，要证：221xx，即证：12ln11tttt证0112lnttt令1112ln)(tttttg，则222)1()1()1(41)(ttttttg又1t，则0)(tg恒成立)(tg在,1上递增，则0)1()(gtg，则221xx成立解法四：引入变量，消元构造函数解：)()(12xfxf，则2121xxexex，则1221xxexx①，不妨设12xx，则0112xx令12xxt，则12,0xtxt代入①有11xxtet，解得11tetx，则tettxxxt122121要证221xx成立，即证212tett又01te0122:tett证构造函数()2(2)(1),(0)tGtttet，则()(1)1,()0ttGtteGtte，故()Gt在(0,)t上单调递增，()(0)0GtG，从而()Gt也在(0,)t上单调递增，()(0)0GtG，即证式成立，也即原不等式122xx成立.类型2：含参极值点偏移问题1.已知函数xaexxf)(有两个不同的零点21xx，，求证：221xx【解析】思路1：函数()fx的两个零点，等价于方程xxea的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数()fx有两个零点12,xx，所以)2()1(2121xxaexaex，由)2()1(得：)(2121xxeeaxx，要证明122xx，只要证明12()2xxaee，由)2()1(得：1212()xxxxaee，即1212xxxxaee，即证：121212()2xxxxeexxee211)(212121xxxxeexx，不妨设12xx，记12txx，则0,1tte，因此只要证明：121ttete01)1(2tteet，极值点偏移专题第3页共16页再次换元令xtxetln,1，即证2(1)ln0(1,)1xxxx构造新函数2(1)()ln1xFxxx，0)1(F求导2'2214(1)()0(1)(1)xFxxxxx，得)(xF在),1(递增，所以0)(xF，因此原不等式122xx获证.【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,xx的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。2.已知21ln2fxxxmxx，mR．若fx有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：212exx解法一：齐次构造通解偏移套路证法1：欲证212exx，需证12lnln2xx．若fx有两个极值点1x，2x，即函数fx有两个零点．又lnfxxmx，所以，1x，2x是方程0fx的两个不同实根．于是，有1122ln0ln0xmxxmx，解得1212lnlnxxmxx．另一方面，由1122ln0ln0xmxxmx，得2121lnlnxxmxx，从而可得，21122112lnlnlnlnxxxxxxxx．于是，222121111222111lnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxx．又120xx，设21xtx，则1t．因此，121lnlnln1ttxxt，1t．要证12lnln2xx，即证：1ln21ttt，1t．即：当1t时，有21ln1ttt．设函数21ln1thttt，1t，则222212111011ttthttttt，所以，ht为1.上的增函数．注意到，10h，因此，10hth．于是，当1t时，有21ln1ttt．所以，有12lnln2xx成立，212exx．解法二变换函数能妙解极值点偏移专题第4页共16页证法2：欲证212exx，需证12lnln2xx．若fx有两个极值点1x，2x，即函数fx有两个零点．又lnfxxmx，所以，1x，2x是方程0fx的两个不同实根．显然0m，否则，函数fx为单调函数，不符合题意．由11121222ln0lnlnln0xmxxxmxxxmx，即只需证明122mxx即可．即只需证明122xxm．设210,gxfxfxxmm，22102mxgxxmx，故gx在10,m，即10gxgm，故2fxfxm．由于11mxfxmxx，故fx在10,m，1,m．设121xxm，令1xx，则2112fxfxfxm，又因为2x，121,xmm，fx在1,m，故有212xxm，即122xxm．原命题得证．解法三构造函数现实力证法3：由1x，2x是方程0fx的两个不同实根得lnxmx，令lnxgxx，12gxgx，由于21lnxgxx，因此，gx在1,e，e,．设121exx，需证明212exx，只需证明212e0,exx，只需证明212efxfx，即222efxfx，即222e0fxfx．即2e1,ehxfxfxx，22221lne0exxhxx，故hx在1,e，故e0hxh，即2efxfx．令1xx，则2211efxfxfx，因为2x，21ee,x，fx在e,，所以221exx，即212exx．解法四巧引变量（一）极值点偏移专题第5页共16页证法4：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120ktt，则1ee1kkkt，2e1kkt．欲证212exx，需证12lnln2xx．即只需证明122tt，即1e21e2e11e2e10e1kkkkkkkkk．设1e2e10kkgkkk，ee1kkgkk，e0kgkk，故gk在,0，故00gkg，故gk在,0，因此00gkg，命题得证．解法五巧引变量（二）证法5：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120,1tkt，则1ln1kktk，2ln1ktk．欲证212exx，需证12lnln2xx，即只需证明122tt，即1ln21212lnln0111kkkkkkkkk，设21ln0,11kgkkkk，22101kgkkk，故gk在0,1，因此10gkg，命题得证．3.（2016年新课标I卷21题）已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点21,xx.证明：122xx.【解析】由2()(2)(1)xfxxeax，得()(1)(2)xfxxea，可知()fx在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.要使函数()yfx有两个零点12,xx，则必须0a.法一：构造部分对称函数不妨设12xx，由单调性知12(,1),(1,)xx，所以22(,1)x，又∵()fx在(,1)单调递减，故要证：122xx，等价于证明：21(2)()0fxfx，又∵222222(2)(1)xfxxeax，且22222()(2)(1)0xfxxeax∴222222(2)(2)xxfxxexe，令函数2g()(2),((1,))xxxxexex，由单调性可证，此处略.法二：参变分离再构造差量函数由已知得：120fxfx，不难发现11x，21x，故可整理得：121222122211xxxexeaxx极值点偏移专题第6页共16页设221xxegxx，则12gxgx，那么