高二数学上册-8.2《向量的数量积》教案(3)-沪教版

8.2（3）向量的数量积的坐标表示一、教学目标设计理理解解和和掌掌握握向向量量数数量量积积的的坐坐标标表表示示；；会会根根据据坐坐标标求求两两个个向向量量的的夹夹角角；；能能把把向向量量垂垂直直关关系系转转化化为为坐坐标标关关系系，，掌掌握握向向量量垂垂直直的的坐坐标标表表示示的的充充要要条条件件..通通过过学学习习，，体体会会坐坐标标化化的的过过程程和和意意义义，，发发展展数数学学思思维维能能力力..二、教学重点及难点向量数量积的坐标表示、垂直向量的坐标关系、利用坐标求两个向量的夹角.数数形形结结合合思思想想方方法法在在解解题题中中的的运运用用..教教学学用用具具准准备备三三角角板板，，直直尺尺((作作图图用用,,也也可可用用多多媒媒体体作作图图))..四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾课堂小结并布置作业两个向量的夹角公式问题引入数量积的坐标表示垂直向量的坐标关系.运用与深化(例题解析、巩固练习)引入问题已知i、j是基本单位向量,则（1）i的坐标是________，j的坐标是________.（2）ii________；ji________.（3）若0,xa，yb,0，则a与b的位置关系是________，所以ba________.[说明]本题要求学生写出基本单位向量的坐标,并根据它们的位置关系,计算i与j的数量积.问题设计的目的,一是复习巩固向量的数量积和向量的坐标表示,二是加深学生对向量坐标的意义的理解,为进一步探究两个向量的数量积与它们坐标之间的关系作好准备.二、学习新课1.探究ba与a、b之间的关系已知两个向量),(11yxa，),(22yxb,试用a和b的坐标表示ba由向量坐标的意义可知:jyixa11，jyixb22根据数量积运算性质,得)()(2211jyixjyixba2211221221jyyjiyxjiyxixx又1ii，1jj，0ijji所以ba2121yyxx这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即ba2121yyxx例1已知2,1a，2,2b，求ab解：2)2(221ba.[说明]通过此例熟悉公式.[问题延伸]可否在上述条件下求出a与b的夹角呢?（课本p68例7）[说明]当向量的坐标给出后,向量的方向就惟一确定了(除零向量),那么它们的夹角也就确定了,所以我们能够求出夹角.我们可以联想到上节课利用向量的数量积求两个向量夹角的方法,当我们根据坐标计算出两个向量的数量积时,意味着只要能根据坐标求出向量的模,问题就迎刃而解了.解:5a,22b.1010cosbaba,因为0，所以1010arccos[说明]注意两个向量夹角的取值范围.2.两个向量的夹角公式显然,对于任意两个非零向量，我们都可以根据它们的坐标求得它们的夹角.一般地,设两个非零向量11,yxa,22,yxb的夹角为,则222221212121cosyxyxyyxxbaba[说明]把向量的度量计算转化为坐标计算，这不仅揭示了向量身兼几何与代数双重身份的本质,又深刻体现了几何代数化的数学思想,这也是引入向量处理几何问题的根本所在.3.两个向量垂直的充要条件的坐标表示根据我们上节课学习的两个向量垂直的充要条件和上述坐标化的夹角公式，我们不难得到两个向量垂直的充要条件的坐标表示.已知11,yxa，22,yxb，那么ba的充要条件是02121yyxx.[说明]把之前学习的两个向量垂直的充要条件坐标化，渗透着数形结合的思想.简洁的形式,使之成为判断两个向量垂直最常用的方法.4.应用与深化例2已知4,3a，5,2b，2,3c，求：（1）cba)(；（2）)(cba（课本p67例5）解：（1）14542)3(ba，28,422,314)(cba.（2）4)2(532cb，16,1244,3)(cba.[说明]①此例可以帮助学生进一步熟悉两个向量数量积的坐标运算，让学生体会数量积和实数与向量乘积的坐标运算结果的区别;②引导学生观察思考,得出结论:在一般情况下,)()(cbacba.例3在ABC中,已知A、B、C三点的坐标分别为2,2、3,2、7,3，求证：ABC是直角三角形.（课本p68例6）解：因为5,4AB，4,5BC，04554BCAB所以BCAB，即ABC是直角三角形.[说明]此题根据三角形的三个顶点坐标,通过坐标运算,将坐标关系转化为位置关系.本题解法多样,可用两个向量垂直的充要条件、勾股定理或解析几何相关知识解答.在教学中可充分调动学生的积极性,引导学生得出多种解法,在此基础上,启发学生比较各种解法的优劣,体会应用代数方法进行几何证明的优越性.[问题变式]以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量AB的坐标.解：设B点坐标(x,y)，则OB=(x,y)，AB=(x5,y2)∵OBAB∴x(x5)+y(y2)=0,即x2+y25x2y=0又∵|OB|=|AB|∴x2+y2=(x5)2+(y2)2,即10x+4y=29由2723232729410025221122yxyxyxyxyx或∴当点B坐标为)23,27(时,AB=)27,23(当点B坐标为)27,23(时,AB=)23,27(.[说明]本题与例3对应,需将度量关系转化为坐标关系解决问题.要注意,仅有垂直关系,点B不是唯一确定的,事实上点B的轨迹是以OA为直径的圆(除去O、A两点).实质上，该问题的几何意义是求以OA为直径的圆(除去O、A两点)与线段OA的中垂线的交点坐标,所以有两解.例4已知3,2a，1,3b，求的值，使ab垂直于b.（课本p68例8）解:31,23ab,因为ab垂直于b,所以0)(bab,解得:310.所以当310时,ab垂直于b.[说明]根据垂直向量的坐标关系求解.[探究问题]已知四边形ABCD中AB=(6,1),BC=(x,y)，CD=(-2,-3),(1)若BC∥DA,试探究x与y(2)满足(1)问的同时又有AC⊥BD,试求x,y的值及四边形ABCD的面积.解:(1)因为yxBC,,2,4yxAD,BC∥DA,所以)4()2(xyyx,可得:02yx.(2)因为1,6yxAC,3,2yxBD,AC⊥BD,所以0)3)(1()2)(6(yyxx,即0152422yxyx解015240222yxyxyx可得:36yx或12yx所以1621BDACSABCD四边形.[说明]①本题有一定的综合性,渗透着数形结合思想,要求位置关系、坐标关系和度量关系的灵活转化.解题时先将平行与垂直关系转化为坐标关系,再利用求得坐标计算长度和面积；②本题可视教学的实际情况采用.三、巩固练习1.已知)3,2(a，4,2b，)2,1(c，则ba，bac=.（课本p69练习8.2（2）第1题）2.已知)4,3(a,12,5b,则a；b；a与b的夹角.（课本p69练习8.2（2）第2题）3.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|２－４ba＝（(补充题)A.23B.57C.63D.834.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC为（）(补充题)A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.在ABC中,已知三点A(-2,3)、B(0,-1)、C(1,k)，若C是直角.求k的值.（课本p69练习8.2（2）第3题）6.已知)2,1(a,1,3b，akbc，且ca，求实数k的值和向量c.参考答案：（课本p69练习8.2（2）第4题）1.8，-2；2.5，13，6533arccos；3.D；4.A5.0或26.1，)1,2(c.四、课堂小结1、向量的数量积的坐标表示;两个向量的夹角公式;向量垂直的充要条件的坐标表示.2、求两个向量的数量积时，注意数量积的结果是数，而实数与向量乘法的结果是向量,要加以区别.3、利用向量的双重身份(代数性和几何性),将向量的度量计算(两个向量的夹角、长度)和位置关系(平行与垂直)判断转化为坐标运算，使几何可能计算，问题更加简洁和形式化、机械化，体现了现代几何学的发展方向---几何代数化.五、作业布置一、练习册8.2P35T6、T7、T8.二、补充题(根据教学实际情况选用)1.已知点A(1，2)和B(4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使090ACB，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.2在△ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.3.已知4,3a，3,4b，求x，y的值，使abyax且1byax.解析:利用方程的思想求解由题:1254825,0242522yxyxyx解得:75,352411yx75,352422yx[说明]①本题有两个待求量,可将两个条件坐标化，转化为二元方程组求解；②解二元二次方程组要准确.参考答案：1.不能(理由略)2.k=213331132或或七、教学设计说明1本节课的主要内容是两个向量数量积的坐标运算，两个向量夹角的坐标计算公式以及垂直向量的坐标关系.向量坐标化的意义在于用代数方法刻画几何量，体现了数形结合的数学思想.本节课在学生学习向量的坐标、向量的数量积的定义和几何意义的基础上，进一步将数量积坐标化，将两个向量的度量计算(夹角、长度)转化为坐标计算.既是前述知识的延续，又为学生提供了数形结合的借鉴模型.在教学中,着力解决的问题有两个：第一个，怎样将两个向量的数量积、夹角计算以及位置关系坐标化；第二个，几何量坐标化以后体现了怎样的优越性，这可以通过解决数学问题的过程让学生体会.第一个问题是非常重要的，如果学生不能了解问题坐标化的过程和意义，也就失去了学习的主旨，使得本节课变成了一节课上轻松、课后糊涂的计算课，所以教师要在学生理解向量坐标意义的基础上揭示坐标化的过程,本节课的引例就是为此而设计的，要重视对向量坐标的意义的理解.2在教学时注意区别实数与向量的乘法和两个向量的数量积的运算结果的区别，实数与向量的乘法的运算结果是向量，而两个向量的数量积的结果是数.在讲解例2时，建议先由学生尝试完成，然后师生共同讨论，观察、分析两者的区别.这样学生的理解比较深刻.