数学：8.2《向量的数量积》教案(2)(沪教版高二上)

８．2（2）向量的数量积（2）上海市闵行中学华佳齐教学目标设计1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．教学重点及难点重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；难点：向量的夹角公式的应用.教学用具准备直尺，投影仪教学过程设计一．情景引入：1．复习回顾(1)两个非零向量的夹角的概念：对于两个非零向量,ab，如果以O为起点，作,OAaOBb，那么射线,OAOB的夹角叫做向量a与向量b的夹角，其中0．(2)平面向量数量积（内积）的定义：如果两个非零向量,ab的夹角为（0），那么我们把||||cosab叫做向量a与向量b的数量积，记做ab，即cosabab．并规定0与任何向量的数量积为0．(3)“投影”的概念：定义：||cosb叫做向量b在a方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为b；当=180时投影为b．(4)向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影||cosb|的乘积．(5)向量的数量积的运算性质：对于R，有（1）2||0,aaa当且仅当0aa时，a＝0（2）abba（3）()ababab（4）()abcabac２．分析思考：(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律()()abcabc是否成立？学生通过讨论，回答：()()abcabc一般不成立(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力f的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力f的方向与运动方向的夹角是否为0o？分析：设该物体在力f的作用下产生位移s，f所做的功为W，f与s的夹角为，则由||||cosWfs知11cos60212||||oWfs二．学习新课:1.向量的夹角公式:在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量,ab的夹角满足cosabab因此,当2时,0ab,反之,当0ab时,2.考虑到0可与任何向量垂直,所以可得：两个向量,ab垂直的充要条件是0ab．２.例题分析例1：化简:22abab．(课本P66例2)解:22abab=aabbababaabb=2222aabbababaabb=4ab例2:已知2,3ab,且a与b的夹角为3,求32ab．(课本P66例3)解:2323232ababab332232aabbab9664aaabbabb229124aabb22921223cos43336所以326ab例3：已知2,4ab,kabkab与垂直,求k的值．(课本P66例4)解：因为kabkab与垂直，所以0kabkab化简得2220kab即2220kab由已知2,4ab，可得24160k解得2k．所以，当2k时，kabkab与垂直．例4：已知a、b都是非零向量，且3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，求a与b的夹角．解：由223750716150ababaabb①22472073080ababaabb②两式相减：22abb代入①或②得：22ab设a、b的夹角为，则221cos22abbabb∴=60３.问题拓展例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．证明：设AB是⊙O直径，半径为r设AOa,则OBa;OCc,则acr则ACacBCca22220ACBCcacacarrACBC，即∠ACB是直角．三．巩固练习1奎屯王新敞新疆已知1,2ab,(1)若a∥b,求ab；(2)若a与b的夹角为60°，求ab(3)若ab与a垂直，求a与b的夹角．2奎屯王新敞新疆已知3,4ab,向量34ab与34ab的位置关系为（）A．平行B．垂C．夹角为3D．不平行也不垂直3奎屯王新敞新疆已知2,1ab,a与b之间的夹角为3，则向量4mab的模为（）A．2B．23C．6D．124奎屯王新敞新疆已知a与b是非零向量，则ab是ab与ab－垂直的（）A．充分但不必要条件BC．充要条件D．既不充分也不必要条件四．课堂小结1．向量的数量积及其运算性质；２．两向量的夹角公式；３．两个向量垂直的充要条件；4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．五．作业布置练习8.2(1)P67T2、T3、T4；P35T3、T4思考题1奎屯王新敞新疆已知向量a与b的夹角为3，2,1ab,则|a+b|·|a-b|=．2奎屯王新敞新疆已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab=．3奎屯王新敞新疆已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且1,2,3abc则22abc＝______4奎屯王新敞新疆对于两个非零向量a与b，求使atb最小时的t值，并求此时b与atb的夹角．5奎屯王新敞新疆求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和奎屯王新敞新疆教学设计说明及反思本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．