清华大学量子力学讲义

1现代量子力学第一章：基本概念1.Stern－Gerlach实验1）结果加热的银原子束通过不均匀磁场后分裂为两束。2）分析●磁场相互作用导致分裂，必是原子的磁矩M引起的，相互作用势VMB。●磁矩与角动量J成正比，MJ。●原子感受到的力zzzzBBFVMeJezz分裂成对称的上下两束角动量在磁场方向（Z）只有大小相等方向相反的两个分量。如果原子的角动量是由于本身自转引起的，热原子的角动量方向将是随机分布的，大量原子通过磁场后在屏上会有一个对称的连续分布，而不是一个两分量分布。银原子有47个电子，其中46个是满壳分布，球对称，整体不显示角动量。银原子的角动量完全是由那个价电子引起的。稳定的二分量分布说明是由价电子的内禀角动量引起的，记为s，zs只有两个大小相等方向相反的值zs和zs。3）量子性质内禀物理量（与时空无关），物理量的分离取值。4）级联Stern－Gerlach实验入射原子束先后经过两个Z方向的磁场，见图a。在第二个磁场之前zs有确定值zs，故在磁场中原子感受的力是确定的，在第二个磁场之后zs仍然有确定值zs。xSNAgyzSz+Sz-2图a现在让入射原子束经过Z和X方向的两个磁场，见图b。在第二个磁场中原子感受的力xxBFJex。在第二个磁场之后观察到原子束分裂，说明在第二个磁场之前xs有两个值xs和xs两个分量（虽然zs有确定值zs）。量子性质：当zs有确定值时，xs没有确定值。zs和xs不能同时有确定值！图b再让入射原子束经过Z，X和Z方向的三个磁场，见图c。最后观察到zs有zs和zs两个分量，说明在第三个磁场之前zs有两个值zs和zs两个分量（虽然xs有确定值xs）。再一次说明量子性质：当xs有确定值时，zs没有确定值。xs和zs不能同时有确定值！图cSNSz+Sz-SNSx+Sx-SNSz+Sz-Sz+Sz-SNSNSx-Sx＋SNSNSz+Sz-Sz+35）与经典电磁波的类似性（实物粒子与光波的类似性）沿Z方向传播的电磁波先后经过只允许X方向的波通过的滤波器（Xfilter）和只允许Y方向的波通过的滤波器（Yfilter）后全部消失。00(,)()cos()cos()0xyxErtEeekztXfilterEekztYfilter在Xfilter和Yfilter之间放一个X’filter，X’与X，Y都是45度角，则最后仍然有Y方向的电磁波观察到。000''00'(,)()cos()cos()()cos()2X'cos()()cos()22YxyxxyxxyErtEeekztEXfilterEekzteekztEEfilterekzteekztfilter0cos()2yEekzt类似性：,,xyzsss和'',xyEE都可看成二分量矢量不同：s是内禀角动量，量子力学量；E是空间相关力学量，经典力学量。ExfilterExx’filterExyfilterEyyy’x’x45°ExfilterExyfilter12.线性矢量空间从上一节，电子自旋角动量在任意方向的投影ns只能取两个值，可看成是一个二维矢量。为了建立量子力学的矩阵描述方式，先讨论线性矢量空间。1）3维矢量空间任意矢量：a算符（对矢量的运算，例如平移，旋转等）：ˆTab，仍然是3维空间中的一个矢量。基矢：,1,2,3nen基矢完备性：31nnnaae内积：,nmnmnmababee矢量模方：0aa若基矢正交归一：nmnmee有内积矩阵形式：nnnababab,其中矩阵123,bbbab是123aaaa的转置矩阵123(,,)aaaa有矢量的分量（矩阵元）：nnaeaa是矢量的抽象形式，矩阵a是矢量a在某个具体坐标系（表象）的表示。矩阵元与基矢的选取有关。例如直角坐标与球坐标中的矩阵元是不同的。2）Hilbert空间将3维矢量空间扩展到任意维数的复矢量空间：3维任意有限维，无限维，连续维常矢量复变函数矢量2用Dirac符号（右矢）表示矢量：a对于复矢量，为了表示其复共轭矢量，引入左矢a（实矢量不必引入左矢）。左矢与右矢互为复共轭。一个矢量既可以用右矢a，也可以用左矢a表示。aaa*a复空间中的算符：ˆT厄米共轭(复共厄)算符ˆTˆˆTaaT（意味着ˆT从左边作用于a）ˆˆˆˆˆˆ=()TFaTFaaFT（注意算符作用的秩序）基矢（以离散空间为例）：,1,2,.....nn基矢完备性：nnaan，*nnana内积：*,nmnmababnm是一个复数。矢量模方：0aa归一化矢量：1,1aaaaaa若基矢正交归一：nmnm有内积矩阵形式：*nnnababab，其中矩阵12nbbbb，a是12naaaa的厄米共厄矩阵***12naaaa。**ˆˆ,abbaaTbbTa，有矢量的分量（矩阵元）：mama基矢完备性：nnnnnaannannnanna由于a是任意矢量，有31nnn此即是基矢的完备性条件。注意ab不是数，也不是矢量，而是一个算符（矩阵）。这里的1应该理解为单位算符（矩阵）。例如在3D空间，基矢10010,21,30,0011100,2010,3001完备性条件是100010010100001001100000000000010000000000001100010001nnnI算符的矩阵形式（用完备性条件）：,ˆˆmmnbFammbmmFnnaˆ,,mmnnmnmmnmmnnnbmFamFmFnbFa写出矩阵形式：bFaF是算符ˆF的矩阵形式，是一个方阵，矩阵元是mnF。外积：ab由于abcabc，ab的作用是把矢量c变成了另一个平行于a的矢量，故外积ab是一个算符。它的具体表示是一个方阵，矩阵元是*mnabmabnmanb43.算符（矩阵）的本征值和本征矢1）一般算符的本征值和本征态算符的本征方程：aaTˆ，称为本征值，a称为本征矢。矩阵形式（自己用完备性条件证明）：0aITaTa本征矢矩阵0a的条件：det()0TI，即久期方程：111212122212NNTT0TNNTTTTTTNN………，从而求得N个本征值，将任意一个i代入本征方程0iTIa得到对应的本征矢a。例：求变换矩阵10=0-1T的本征值和本征矢。久期方程为1000-1--，即210，本征值为1=。设本征矢为21aaa。取=1，1200002=，求得归一化后本征矢为10；类似，取1=-，求得对应的本征矢为01。2）厄米算符5矩阵T的厄米共轭矩阵,~*TT，*,ijjiTT若=,=ijijTTTT，则称T为厄米矩阵。以下讨论厄米矩阵的性质：a)**ˆˆˆaTbbTabTa特别是，*ˆˆaTaaTa，说明厄米算符的平均值ˆaTa是实数。注意，对于反厄米算符，=-TT，*ˆˆaTaaTa，反厄米算符的平均值ˆaTa是虚数。b)设本征方程ˆ=iTii，ˆ=jTjj由ˆ=ijTiji和*ˆ=jjTj，**ˆ=jjjTijiji有*()0ijji当*,0,iijiii，说明厄米算符的本征值为实数。当,0,0,ijjiji，说明厄米算符属于不同本征值的本征态正交。考虑到归一化，有正交归一条件：=ijij。问题：同一本征值的本征态是否正交？c)线性叠加正交法（施米特正交法）若存在简并，即同一本征值对应多个本征态，例如有g重简并：ˆ,=,1,...iTijijjg，，重新定义g个新态：1,=,1,2,...gnjjinCijng，因为11ˆˆ,=,=,=,ggnjinjijjTinCTijCijin，所以,in仍然是ˆT的属于本征值i的本征态。通过合适的选取系数njC，可使得这g个新态正交归一：,,mnimin6共有g个归一化方程2gg+2个正交方程gg1=2个方程2g个待定系数njC，故有多种选择来决定满足正交归一化条件的系数njC，使得新态,in正交归一：,,ijmnimjn=，ij来自于不同本征值的本征态的正交归一，mn来自于线性叠加正交法。结论：无论简并还是非简并，厄米算符的本征态正交归一。d）可以证明：厄米算符的本征矢满足完备性条件，1iii。故厄米算符的本征矢可以构成Hilbert空间的一组正交归一的基矢，即构成一个线性矢量空间，或一个表象。14.测量1）单个力学量的测量力学量在一般状态没有确定值，只有在某些特点的状态有确定值。例如在Stern－Gerlach实验中zs在磁场前没有确定值，只在磁场后有确定值，一束为zs，另一束为zs。因此，量子力学量的取值与系统所处的状态紧密相关。量子力学假设：量子力学系统的力学量用线性矢量空间中的厄米算符表示，状态用矢量表示。由于厄米算符本征态的完备性，任意力学量的本征态都可构成一个线性矢量空间或一个表象。ˆF的本征方程ˆnFnfn在F表象：基矢n任意态nanna，na是态a在F表象的具体形式。量子力学假设：力学量ˆF只有在它的本征态n才有确定值，就是本征值nf，处于任意态a时，ˆF没有确定值，只有确定的平均值ˆFaFa。（厄米算符的本征值和平均值都是实数，这是为什么将力学量用厄米算符表示的原因）,ˆˆnmFaFaannFmma,2mnmnmnnnnanfmaannafnaf表明ˆF取值为nf的几率是2na。在一般态，力学量取值不确定，但取值几率确定，平均值确定。在ˆF的自身表象，F的矩阵元ˆmnnnmnFmFnfmnf，故力学量在自身表象是一个对角矩阵，对角元就是力学量的本征值。Stern－Gerkach实验中的Ag原子在磁场前zs无确定值，过磁场后有了确定值。设置磁场可以看成是对自旋的一次测量，一测量就有了确定值。在任意态a测量ˆF，体系都塌缩到ˆF的本征态，ˆF都有确定的值。塌缩到n，有确定值nf的几率是2na。测量使得体系的粒子性质得以体现，或者可以说，测量产生了粒子。2问题：在态a测量ˆF，得值nf，紧接又测量ˆF，取值为多少？第一次测量，nannan第二次测量，体系已经处于ˆF的本征态n，测量结果仍然为nf。这是为什么在经过两个Z方向磁场后，Stern－Gerlach实验中Ag原子的自旋仍然为zs的原因。2）自旋矩阵由Stern－Gerlach实验，电子自旋为12，在任意方向ne的自旋算符ˆˆnnses的取值是2，本征方程ˆ2nnnsss。在ˆzs的本征态构成的表象（zs表象），zs是一个对角矩阵10012zs。解本征方程,2zaasbb得本征态为10,01zzss。现在zs表象解ˆˆ,xyss的矩阵形式。由ˆzs的本征态的完备性条件，有iixzzxzxzzxzissssssssss，由级联Stern－G